Математический анализ Примеры

$x = \frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $\frac{1}{27}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{y^{3}}{27}$ по $x$ равна $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{27} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Этап 3.2.4

Объединим $3$ и $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3}{27} (y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Этап 3.2.5

Объединим $y^{2}$ и $\frac{3}{27}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3}{27} y' + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Этап 3.2.6

Объединим $\frac{y^{2} \cdot 3}{27}$ и $y'$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Этап 3.2.7

Перенесем $3$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{3 \cdot y^{2} y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Этап 3.2.8

Сократим общий множитель $3$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y^{2} y'$ .

$\frac{3 (y^{2} y')}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Этап 3.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Этап 3.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Этап 3.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $\frac{9}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9}{4 y}$ по $x$ равна $\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = y$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Этап 3.3.5

Умножим $y$ на $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Этап 3.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Этап 3.3.7

Вычтем $y'$ из $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{- y'}{y^{2}}$

Этап 3.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} (- \frac{y'}{y^{2}})$

Этап 3.3.9

Умножим $\frac{9}{4}$ на $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$9, 4 y^{2}, 1$

Этап 5.2.2

Since $9, 4 y^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 4, 1$ then find LCM for the variable part $y^{2}$ .

Этап 5.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.2.4

У $9$ есть множители: $3$ и $3$ .

$3 \cdot 3$

Этап 5.2.5

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 5.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.2.7

НОК $9, 4, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

Этап 5.2.8

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 3 \cdot 3$

Этап 5.2.8.2

Умножим $4$ на $3$ .

$12 \cdot 3$

Этап 5.2.8.3

Умножим $12$ на $3$ .

$36$

Этап 5.2.9

Множители $y^{2}$ — $y \cdot y$ , то есть $y$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ встречается $2$ раз.

Этап 5.2.10

НОК $y^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot y$

Этап 5.2.11

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2}$

Этап 5.2.12

НОК $9, 4 y^{2}, 1$ представляет собой произведение числовой части $36$ и переменной части.

$36 y^{2}$

Этап 5.3

Каждый член в $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ умножим на $36 y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ на $36 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} (36 y^{2}) - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $9$ из $36$ .

$9 (4) \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$9 \cdot 4 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (y^{2} y') y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Перенесем $y^{2}$ .

$4 (y^{2} y^{2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Этап 5.3.2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (y^{2 + 2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Этап 5.3.2.1.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$4 (y^{4} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Этап 5.3.2.1.4

Сократим общий множитель $4 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9 y'}{4 y^{2}}$ в числитель.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Этап 5.3.2.1.4.2

Вынесем множитель $4 y^{2}$ из $36 y^{2}$ .

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} (9)) = 1 (36 y^{2})$

Этап 5.3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} \cdot 9) = 1 (36 y^{2})$

Этап 5.3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$4 y^{4} y' - 9 y' \cdot 9 = 1 (36 y^{2})$

Этап 5.3.2.1.5

Умножим $9$ на $- 9$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 1 (36 y^{2})$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $36 y^{2}$ на $1$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 36 y^{2}$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $4 y^{4} y' - 81 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $y'$ из $4 y^{4} y'$ .

$y' (4 y^{4}) - 81 y' = 36 y^{2}$

Этап 5.4.1.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 81 y'$ .

$y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81 = 36 y^{2}$

Этап 5.4.1.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81$ .

$y' (4 y^{4} - 81) = 36 y^{2}$

Этап 5.4.2

Перепишем $4 y^{4}$ в виде ${(2 y^{2})}^{2}$ .

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 81) = 36 y^{2}$

Этап 5.4.3

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 9^{2}) = 36 y^{2}$

Этап 5.4.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 y^{2}$ и $b = 9$ .

$y' ((2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)) = 36 y^{2}$

Этап 5.4.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$

Этап 5.4.5

Разделим каждый член $y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ на $(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1

Разделим каждый член $y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ на $(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ .

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Этап 5.4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.1

Сократим общий множитель $2 y^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Этап 5.4.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Этап 5.4.5.2.2

Сократим общий множитель $2 y^{2} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Этап 5.4.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$