Математический анализ Примеры

$x = 2 \ln (y^{2} - 3)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (y^{2} - 3))$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln (y^{2} - 3)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln (y^{2} - 3)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (y^{2} - 3)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = y^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y^{2} - 3$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y^{2} - 3$ .

$2 (\frac{1}{y^{2} - 3} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\frac{1}{y^{2} - 3}$ и $2$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3]$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $y^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y' + 0)$

Этап 3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $2 y y'$ и $0$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y')$

Этап 3.7.2

Объединим $2$ и $\frac{2}{y^{2} - 3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{y^{2} - 3} (y y')$

Этап 3.7.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{y^{2} - 3} (y y')$

Этап 3.7.4

Объединим $y$ и $\frac{4}{y^{2} - 3}$ .

$\frac{y \cdot 4}{y^{2} - 3} y'$

Этап 3.7.5

Объединим $\frac{y \cdot 4}{y^{2} - 3}$ и $y'$ .

$\frac{y \cdot 4 y'}{y^{2} - 3}$

Этап 3.7.6

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{4 y y'}{y^{2} - 3}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} = 1$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} = 1$

Этап 5.2

Умножим обе части на $y^{2} - 3$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} (y^{2} - 3) = 1 (y^{2} - 3)$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} (y^{2} - 3) = 1 (y^{2} - 3)$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 y y' = 1 (y^{2} - 3)$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $y^{2} - 3$ на $1$ .

$4 y y' = y^{2} - 3$

Этап 5.4

Разделим каждый член $4 y y' = y^{2} - 3$ на $4 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $4 y y' = y^{2} - 3$ на $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 4} + \frac{- 3}{4 y}$

Этап 5.4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 4} + \frac{- 3}{4 y}$

Этап 5.4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{4} + \frac{- 3}{4 y}$

Этап 5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y}{4} - \frac{3}{4 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4} - \frac{3}{4 y}$