Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin^{2} (\cos (2 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (\cos (2 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (\cos (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (\cos (2 x))]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (\cos (2 x))]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (\cos (2 x))$ .

$2 \sin (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (\cos (2 x))]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (2 x)$ .

$2 \sin (\cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (\cos (2 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (2 x)$ .

$2 \sin (\cos (2 x)) (\cos (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$2 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.2

Производная $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \sin (u_{3})$ .

$2 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$2 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) \sin (2 x) \cdot 1$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) \sin (2 x)$

Этап 4.5.2

Изменим порядок множителей в $- 4 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) \sin (2 x)$ .

$- 4 \cos (\cos (2 x)) \sin (\cos (2 x)) \sin (2 x)$