Математический анализ Примеры

$\sqrt{y} = 2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}})$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.8

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.9

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Этап 3.10

Объединим $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ и $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{4} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4} y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = y$ .

$2 (x^{4} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Этап 4.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (x^{4} y' + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Этап 4.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (x^{4} y' + y (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Этап 4.2.5

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{x^{2}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 4.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 4.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 4.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 4.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 4.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Этап 4.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 4.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{- 3})$

Этап 4.3.10

Умножим $- 2$ на $5$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) - 10 x^{- 3}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{4} y') + 2 (4 y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 4.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$2 x^{4} y' + 8 (y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 4.4.3.2

Объединим $- 10$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$2 x^{4} y' + 8 y x^{3} + \frac{- 10}{x^{3}}$

Этап 4.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{4} y' + 8 y x^{3} - \frac{10}{x^{3}}$

Этап 4.4.4

Изменим порядок членов.

$2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части на $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.3

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y' = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $(2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = 2 x^{4} y' (2 y^{\frac{1}{2}}) + 8 x^{3} y (2 y^{\frac{1}{2}}) - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y (2 y^{\frac{1}{2}}) - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.2.2

Умножим $y$ на $y^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.2.1

Перенесем $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} (y^{\frac{1}{2}} y) \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.2.2.2

Умножим $y^{\frac{1}{2}}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1}{2} + 1} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1 + 2}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.2.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.2.3

Умножим $- \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 2 \frac{10}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.2.1.2.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{10}{x^{3}}$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 2 \cdot 10}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.2.1.2.3.3

Умножим $- 2$ на $10$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 20}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.2.1.2.3.4

Объединим $\frac{- 20}{x^{3}}$ и $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Этап 6.2.2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Умножим $2$ на $8$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} + \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Этап 6.2.2.1.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Этап 6.2.2.1.4

Перенесем $x^{4}$ .

$y' = 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Этап 6.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Этап 6.3.2

Найдем общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ , который присутствует в каждом члене.

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x y^{\frac{1}{2}})}^{9} - 16 {(x y^{\frac{1}{2}})}^{9} + \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Этап 6.3.3

Подставим $u$ вместо $y^{\frac{1}{2}}$ .

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x u)}^{9} - 16 {(x (u))}^{9} + \frac{20 (u)}{x^{3}} = 0$

Этап 6.3.4

Подставим $y'$ вместо $u$ .

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x y^{\frac{1}{2}})}^{9} - 16 {(x (y^{\frac{1}{2}}))}^{9} + \frac{20 (y^{\frac{1}{2}})}{x^{3}} = 0$

Этап 6.3.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Этап 6.3.5.2

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Этап 6.3.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Этап 6.3.5.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Этап 6.3.6

Разделим каждый член $y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ на $1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1

Разделим каждый член $y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ на $1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 6.3.6.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.6.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.3.2.1

Умножим $\frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$y' = \frac{x^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.6.3.2.2

Объединим.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}})}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} (- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}})}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.4

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ в числитель.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.4.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.4.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.3.5.1

Вынесем множитель $4 y^{\frac{1}{2}}$ из $x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.3.5.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.3.5.1.1.1

Перенесем круглые скобки.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3}) y^{\frac{3}{2}} - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.5.1.1.2

Изменим порядок $x^{3}$ и $16$ .

$y' = \frac{16 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{3}{2}} - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.5.1.2

Вынесем множитель $4 y^{\frac{1}{2}}$ из $16 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.5.1.3

Вынесем множитель $4 y^{\frac{1}{2}}$ из $- 20 y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) + 4 y^{\frac{1}{2}} (- 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.5.1.4

Вынесем множитель $4 y^{\frac{1}{2}}$ из $4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) + 4 y^{\frac{1}{2}} (- 5)$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.5.2

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.3.5.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot (x^{3} x^{3}) y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3 + 3} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.5.2.3

Добавим $3$ и $3$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{6} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.3.5.3.1

Разделим $2$ на $2$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y^{1} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.5.3.2

Упростим.

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.6

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.3.6.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} \cdot 1$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1) + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.3.6.3.6.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (1) + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$