Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{3}{\sqrt{3 h + 1 + 1}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$3 lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{3 h + 1 + 1}}$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$3 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{3 h + 1 + 1}}$

Этап 1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$3 \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{3 h + 1 + 1}}$

Этап 1.4

Внесем предел под знак радикала.

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 3 h + 1 + 1}}$

Этап 1.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} 1}}$

Этап 1.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} 1}}$

Этап 1.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{3 lim_{h \to 0} h + 1 + lim_{h \to 0} 1}}$

Этап 1.8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{3 lim_{h \to 0} h + 1 + 1}}$

Этап 2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{3 \cdot 0 + 1 + 1}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{0 + 1 + 1}}$

Этап 3.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 + 1}}$

Этап 3.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$3 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$3 \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.4

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$2.12132034 \dots$