Математический анализ Примеры

x^{3} - y^{3} = 7

$x^{3} - y^{3} = 7$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная

x^{3} - y^{3}

$x^{3} - y^{3}$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 3

$n = 3$ .

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение

\frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку

- 1

$- 1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- y^{3}

$- y^{3}$ по

x

$x$ равна

- \frac{d}{d x} [y^{3}]

$- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

$f (x) = x^{3}$ и

$g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

$u$ как

$y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид

$n u^{n - 1}$ , где

$n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения

$u$ на

$y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.3

Перепишем

$\frac{d}{d x} [y]$ в виде

$y'$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Этап 2.2.4

Умножим

$3$ на

$- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Этап 3

Поскольку

$7$ является константой относительно

$x$ , производная

$7$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = 0$

Этап 5

Решим относительно

$y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем

$3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.2

Разделим каждый член

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ на

$- 3 y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ на

$- 3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель

$- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель

$y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим

$y'$ на

$1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель

$- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Этап 6

Заменим

$y'$ на

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$