Математический анализ Примеры

$6 \sin (x) + \cos (y) = \sin (x) \cos (y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (6 \sin (x) + \cos (y)) = \frac{d}{d x} (\sin (x) \cos (y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 \sin (x) + \cos (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \sin (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$6 \cos (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$6 \cos (x) - \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 \cos (x) - \sin (y) y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- \sin (y) y' + 6 \cos (x)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (y)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x)$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$- \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- \sin (y) y' + 6 \cos (x) = - \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- \sin (y) y' + 6 \cos (x)$ .

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) = - \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в $- \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$ .

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) = - y' \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y)$

Этап 5.3

Добавим $y' \sin (x) \sin (y)$ к обеим частям уравнения.

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y)$

Этап 5.4

Вычтем $6 \cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$- y' \sin (y) + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Этап 5.5

Вынесем множитель $y' \sin (y)$ из $- y' \sin (y) + y' \sin (x) \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $y' \sin (y)$ из $- y' \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $y' \sin (y)$ из $y' \sin (x) \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (y) \sin (x) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $y' \sin (y)$ из $y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (y) \sin (x)$ .

$y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Этап 5.6

Разделим каждый член $y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$ на $\sin (y) (- 1 + \sin (x))$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$ на $\sin (y) (- 1 + \sin (x))$ .

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $\sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Этап 5.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель $- 1 + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Этап 5.6.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.1

Разделим дроби.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Этап 5.6.3.1.2

Перепишем $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ в виде произведения.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Этап 5.6.3.1.3

Запишем $\cos (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Этап 5.6.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.4.1

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Этап 5.6.3.1.4.2

Переведем $\frac{1}{\sin (y)}$ в $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y)) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Этап 5.6.3.1.5

Умножим $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.5.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \csc (y) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Этап 5.6.3.1.5.2

Объединим $\frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ и $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Этап 5.6.3.1.6

Разделим дроби.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Этап 5.6.3.1.7

Перепишем $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ в виде произведения.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Этап 5.6.3.1.8

Запишем $\cos (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Этап 5.6.3.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.9.1

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Этап 5.6.3.1.9.2

Переведем $\frac{1}{\sin (y)}$ в $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Этап 5.6.3.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Этап 5.6.3.1.11

Умножим $- \frac{6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.11.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{6}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cdot 6}{- 1 + \sin (x)} \csc (y)$

Этап 5.6.3.1.11.2

Объединим $\csc (y)$ и $\frac{\cos (x) \cdot 6}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y) (\cos (x) \cdot 6)}{- 1 + \sin (x)}$

Этап 5.6.3.1.12

Перенесем $6$ влево от $\csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Этап 5.6.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) - 6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Этап 5.6.3.2.2

Вынесем множитель $\cos (x) \csc (y)$ из $\cos (x) \cos (y) \csc (y) - 6 \csc (y) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.2.1

Вынесем множитель $\cos (x) \csc (y)$ из $\cos (x) \cos (y) \csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) - 6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Этап 5.6.3.2.2.2

Вынесем множитель $\cos (x) \csc (y)$ из $- 6 \csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 6)}{- 1 + \sin (x)}$

Этап 5.6.3.2.2.3

Вынесем множитель $\cos (x) \csc (y)$ из $\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 6)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 + \sin (x)}$

Этап 5.6.3.2.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1) + \sin (x)}$

Этап 5.6.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1) - 1 (- \sin (x))}$

Этап 5.6.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1 - \sin (x))}$

Этап 5.6.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{1 - \sin (x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{1 - \sin (x)}$