Математический анализ Примеры

$3 x + \ln (y) = x^{2} y^{5}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (3 x + \ln (y)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{5})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x + \ln (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$3 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 + \frac{1}{y} y'$

Этап 2.3.3

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y'$ .

$3 + \frac{y'}{y}$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{y'}{y} + 3$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y^{5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{5}] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{2} (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Перенесем $5$ влево от $x^{2}$ .

$5 \cdot x^{2} y^{4} \frac{d}{d x} [y] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} (2 x)$

Этап 3.6

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перенесем $2$ влево от $y^{5}$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + 2 \cdot y^{5} x$

Этап 3.6.2

Изменим порядок членов.

$5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y'}{y} + 3 = 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $5 y^{4} x^{2} y'$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1, 1$

Этап 5.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 5.3

Каждый член в $\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ на $y$ .

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Этап 5.3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $y^{4}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Перенесем $y$ .

$y' + 3 y - 5 (y \cdot y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Этап 5.3.2.1.2.2

Умножим $y$ на $y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' + 3 y - 5 (y^{1} y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Этап 5.3.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' + 3 y - 5 y^{1 + 4} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Этап 5.3.2.1.2.3

Добавим $1$ и $4$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $y^{5}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Перенесем $y$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y \cdot y^{5}) x$

Этап 5.3.3.1.2

Умножим $y$ на $y^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y^{1} y^{5}) x$

Этап 5.3.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{1 + 5} x$

Этап 5.3.3.1.3

Добавим $1$ и $5$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$y' - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' - 5 y^{5} x^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

Этап 5.4.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 5 y^{5} x^{2} y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

Этап 5.4.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2})$ .

$y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

Этап 5.4.3

Разделим каждый член $y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ на $1 - 5 y^{5} x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Разделим каждый член $y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ на $1 - 5 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Этап 5.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Сократим общий множитель $1 - 5 y^{5} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Этап 5.4.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Этап 5.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 y^{6} x - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Этап 5.4.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{6} x - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{6} x$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Этап 5.4.3.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- 3 y$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Этап 5.4.3.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$