Математический анализ Примеры

$3 x^{2} - 4 x y^{2} + y^{4} + 8 = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} - 4 x y^{2} + y^{4} + 8) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 4 x y^{2} + y^{4} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x y^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$6 x - 4 \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$6 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$6 x - 4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x - 4 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$6 x - 4 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 x - 4 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x - 4 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$6 x - 4 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$6 x - 4 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$6 x - 4 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$6 x - 4 (2 x y y' + y^{2}) + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.4.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$6 x - 4 (2 x y y' + y^{2}) + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 x - 4 (2 x y y' + y^{2}) + 4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.5

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x - 4 (2 x y y' + y^{2}) + 4 y^{3} y' + 0$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x - 4 (2 x y y') - 4 y^{2} + 4 y^{3} y' + 0$

Этап 2.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$6 x - 8 (x y y') - 4 y^{2} + 4 y^{3} y' + 0$

Этап 2.6.2.2

Добавим $6 x - 8 x y y' - 4 y^{2} + 4 y^{3} y'$ и $0$ .

$6 x - 8 x y y' - 4 y^{2} + 4 y^{3} y'$

Этап 2.6.3

Изменим порядок членов.

$- 4 y^{2} - 8 x y y' + 4 y^{3} y' + 6 x$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 4 y^{2} - 8 x y y' + 4 y^{3} y' + 6 x = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Добавим $4 y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 8 x y y' + 4 y^{3} y' + 6 x = 4 y^{2}$

Этап 5.1.2

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$- 8 x y y' + 4 y^{3} y' = 4 y^{2} - 6 x$

Этап 5.2

Вынесем множитель $4 y y'$ из $- 8 x y y' + 4 y^{3} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4 y y'$ из $- 8 x y y'$ .

$4 y y' (- 2 x) + 4 y^{3} y' = 4 y^{2} - 6 x$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $4 y y'$ из $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' (- 2 x) + 4 y y' y^{2} = 4 y^{2} - 6 x$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $4 y y'$ из $4 y y' (- 2 x) + 4 y y' y^{2}$ .

$4 y y' (- 2 x + y^{2}) = 4 y^{2} - 6 x$

Этап 5.3

Разделим каждый член $4 y y' (- 2 x + y^{2}) = 4 y^{2} - 6 x$ на $4 y (- 2 x + y^{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $4 y y' (- 2 x + y^{2}) = 4 y^{2} - 6 x$ на $4 y (- 2 x + y^{2})$ .

$\frac{4 y y' (- 2 x + y^{2})}{4 y (- 2 x + y^{2})} = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y y' (- 2 x + y^{2})}{4 y (- 2 x + y^{2})} = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (- 2 x + y^{2})}{y (- 2 x + y^{2})} = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (- 2 x + y^{2})}{y (- 2 x + y^{2})} = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- 2 x + y^{2})}{- 2 x + y^{2}} = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $- 2 x + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 2 x + y^{2})}{- 2 x + y^{2}} = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y^{2}}{y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{- 2 x + y^{2}} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $- 6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$y' = \frac{y}{- 2 x + y^{2}} + \frac{2 (- 3 x)}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y (- 2 x + y^{2})$ .

$y' = \frac{y}{- 2 x + y^{2}} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2 y (- 2 x + y^{2}))}$

Этап 5.3.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y}{- 2 x + y^{2}} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2 y (- 2 x + y^{2}))}$

Этап 5.3.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{- 2 x + y^{2}} + \frac{- 3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y}{- 2 x + y^{2}} - \frac{3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $\frac{y}{- 2 x + y^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = \frac{y}{- 2 x + y^{2}} \cdot \frac{2 y}{2 y} - \frac{3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(- 2 x + y^{2}) \cdot 2 y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $\frac{y}{- 2 x + y^{2}}$ на $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = \frac{y (2 y)}{(- 2 x + y^{2}) (2 y)} - \frac{3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(- 2 x + y^{2}) (2 y)$ .

$y' = \frac{y (2 y)}{2 y (- 2 x + y^{2})} - \frac{3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y (2 y) - 3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = \frac{2 y \cdot y - 3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.5.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.2.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{2 (y \cdot y) - 3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.5.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{2 y^{2} - 3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 y^{2} - 3 x}{2 y (- (2 x) + y^{2})}$

Этап 5.3.3.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y^{2} - 3 x}{2 y (- (2 x) - 1 (- y^{2}))}$

Этап 5.3.3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{2 y^{2} - 3 x}{2 y (- (2 x - y^{2}))}$

Этап 5.3.3.6.4

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.4.1

Перепишем $- (2 x - y^{2})$ в виде $- 1 (2 x - y^{2})$ .

$y' = \frac{2 y^{2} - 3 x}{2 y (- 1 (2 x - y^{2}))}$

Этап 5.3.3.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 y^{2} - 3 x}{(2 y) (2 x - y^{2})}$

Этап 5.3.3.6.4.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{2 y^{2} - 3 x}{(2 y) (2 x - y^{2})}$ .

$y' = - \frac{2 y^{2} - 3 x}{2 y (2 x - y^{2})}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} - 3 x}{2 y (2 x - y^{2})}$