Математический анализ Примеры

$2 + 2 x = \sin (x y^{2})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 + 2 x) = \frac{d}{d x} (\sin (x y^{2}))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 3.1.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x y^{2}$ .

$\cos (x y^{2}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$\cos (x y^{2}) (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$\cos (x y^{2}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\cos (x y^{2}) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$\cos (x y^{2}) (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\cos (x y^{2}) (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\cos (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Этап 3.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\cos (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2})$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x y^{2}) (2 x y y') + \cos (x y^{2}) y^{2}$

Этап 3.8.2

Изменим порядок членов.

$2 x y \cos (x y^{2}) y' + y^{2} \cos (x y^{2})$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 = 2 x y \cos (x y^{2}) y' + y^{2} \cos (x y^{2})$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $2 x y \cos (x y^{2}) y' + y^{2} \cos (x y^{2}) = 2$ .

$2 x y \cos (x y^{2}) y' + y^{2} \cos (x y^{2}) = 2$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в $2 x y \cos (x y^{2}) y' + y^{2} \cos (x y^{2})$ .

$2 x y y' \cos (x y^{2}) + y^{2} \cos (x y^{2}) = 2$

Этап 5.3

Вычтем $y^{2} \cos (x y^{2})$ из обеих частей уравнения.

$2 x y y' \cos (x y^{2}) = 2 - y^{2} \cos (x y^{2})$

Этап 5.4

Разделим каждый член $2 x y y' \cos (x y^{2}) = 2 - y^{2} \cos (x y^{2})$ на $2 x y \cos (x y^{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $2 x y y' \cos (x y^{2}) = 2 - y^{2} \cos (x y^{2})$ на $2 x y \cos (x y^{2})$ .

$\frac{2 x y y' \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})} = \frac{2}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x y y' \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})} = \frac{2}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y y' \cos (x y^{2})}{x y \cos (x y^{2})} = \frac{2}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y y' \cos (x y^{2})}{x y \cos (x y^{2})} = \frac{2}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' \cos (x y^{2})}{y \cos (x y^{2})} = \frac{2}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' \cos (x y^{2})}{y \cos (x y^{2})} = \frac{2}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' \cos (x y^{2})}{\cos (x y^{2})} = \frac{2}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.2.4

Сократим общий множитель $\cos (x y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \cos (x y^{2})}{\cos (x y^{2})} = \frac{2}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.2.4.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2}{2 x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{x y \cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.2

Разделим дроби.

$y' = \frac{1}{x y} \cdot \frac{1}{\cos (x y^{2})} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.3

Переведем $\frac{1}{\cos (x y^{2})}$ в $\sec (x y^{2})$ .

$y' = \frac{1}{x y} \sec (x y^{2}) + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.4

Объединим $\frac{1}{x y}$ и $\sec (x y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x y^{2})}{x y} + \frac{- y^{2} \cos (x y^{2})}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.5

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2} \cos (x y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x y^{2})}{x y} + \frac{y (- y \cos (x y^{2}))}{2 x y \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.5.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 x y \cos (x y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x y^{2})}{x y} + \frac{y (- y \cos (x y^{2}))}{y (2 x \cos (x y^{2}))}$

Этап 5.4.3.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{\sec (x y^{2})}{x y} + \frac{y (- y \cos (x y^{2}))}{y (2 x \cos (x y^{2}))}$

Этап 5.4.3.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{\sec (x y^{2})}{x y} + \frac{- y \cos (x y^{2})}{2 x \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.6

Сократим общий множитель $\cos (x y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{\sec (x y^{2})}{x y} + \frac{- y \cos (x y^{2})}{2 x \cos (x y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.6.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{\sec (x y^{2})}{x y} + \frac{- y}{2 x}$

Этап 5.4.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{\sec (x y^{2})}{x y} - \frac{y}{2 x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x y^{2})}{x y} - \frac{y}{2 x}$