Математический анализ Примеры

$2 x^{2} + 3 x y - 5 y = 6$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 3 x y - 5 y) = \frac{d}{d x} (6)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 3 x y - 5 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 x + 3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$4 x + 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 x + 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x + 3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$4 x + 3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 y$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 x + 3 (x y' + y) - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 x + 3 (x y' + y) - 5 y'$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 3 (x y') + 3 y - 5 y'$

Этап 2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x + 3 x y' + 3 y - 5 y'$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$3 x y' + 4 x + 3 y - 5 y'$

Этап 3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x y' + 4 x + 3 y - 5 y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$3 x y' + 3 y - 5 y' = - 4 x$

Этап 5.1.2

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$3 x y' - 5 y' = - 4 x - 3 y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $3 x y' - 5 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 x y'$ .

$y' (3 x) - 5 y' = - 4 x - 3 y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 5 y'$ .

$y' (3 x) + y' \cdot - 5 = - 4 x - 3 y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 x) + y' \cdot - 5$ .

$y' (3 x - 5) = - 4 x - 3 y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (3 x - 5) = - 4 x - 3 y$ на $3 x - 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (3 x - 5) = - 4 x - 3 y$ на $3 x - 5$ .

$\frac{y' (3 x - 5)}{3 x - 5} = \frac{- 4 x}{3 x - 5} + \frac{- 3 y}{3 x - 5}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 x - 5)}{3 x - 5} = \frac{- 4 x}{3 x - 5} + \frac{- 3 y}{3 x - 5}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{3 x - 5} + \frac{- 3 y}{3 x - 5}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{- 3 y}{3 x - 5}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4 x}{3 x - 5} - \frac{3 y}{3 x - 5}$

Этап 5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 4 x - 3 y}{3 x - 5}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$y' = \frac{- (4 x) - 3 y}{3 x - 5}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y$ .

$y' = \frac{- (4 x) - (3 y)}{3 x - 5}$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x) - (3 y)$ .

$y' = \frac{- (4 x + 3 y)}{3 x - 5}$

Этап 5.3.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.5.1

Перепишем $- (4 x + 3 y)$ в виде $- 1 (4 x + 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (4 x + 3 y)}{3 x - 5}$

Этап 5.3.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4 x + 3 y}{3 x - 5}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x + 3 y}{3 x - 5}$