Математический анализ Примеры

$\frac{y}{y - x} = x^{2} - 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{y - x}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = y$ и $g (x) = y - x$ .

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{(y - x) y' - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $y - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y y' - x y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Объединим противоположные члены в $y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1.1

Вычтем $y y'$ из $y y'$ .

$\frac{- x y' + 0 - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.8.3.1.2

Добавим $- x y'$ и $0$ .

$\frac{- x y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.8.3.2

Умножим $- y \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x y' + 1 y}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.8.3.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{- x y' + y}{{(y - x)}^{2}}$

Этап 2.8.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x y' + y}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.6

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.8

Перепишем $- (x y' - y)$ в виде $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{1} = \frac{2 x}{- 1}$

Этап 5.1.2.2

Разделим $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$ на $1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = \frac{2 x}{- 1}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 x}{- 1}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 1 \cdot (2 x)$

Этап 5.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (2 x)$ в виде $- (2 x)$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - (2 x)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 2 x$

Этап 5.2

Умножим обе части на ${(- x + y)}^{2}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель ${(- x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x y' - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.2

Изменим порядок $x$ и $y'$ .

$y' x - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Этап 5.4

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $- 2 x {(- x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Перепишем.

$y' x - y = 0 + 0 - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Этап 5.4.1.2

Перепишем ${(- x + y)}^{2}$ в виде $(- x + y) (- x + y)$ .

$y' x - y = - 2 x ((- x + y) (- x + y))$

Этап 5.4.1.3

Развернем $(- x + y) (- x + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x + y) + y (- x + y))$

Этап 5.4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x + y))$

Этап 5.4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Этап 5.4.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Этап 5.4.1.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Этап 5.4.1.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Этап 5.4.1.4.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' x - y = - 2 x (1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Этап 5.4.1.4.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Этап 5.4.1.4.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y \cdot y)$

Этап 5.4.1.4.1.6

Умножим $y$ на $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

Этап 5.4.1.4.2

Вычтем $y x$ из $- x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.2.1

Перенесем $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - x y + y^{2})$

Этап 5.4.1.4.2.2

Вычтем $x y$ из $- x y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

Этап 5.4.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y' x - y = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Этап 5.4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Этап 5.4.1.6.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Этап 5.4.1.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' x - y = - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Этап 5.4.1.6.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Этап 5.4.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.2.1

Перенесем $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) (- 2 y) - 2 x y^{2}$

Этап 5.4.1.6.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x^{2} (- 2 y) - 2 x y^{2}$

Этап 5.4.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 \cdot - 2 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Этап 5.4.1.7.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Этап 5.4.2

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$

Этап 5.4.3

Разделим каждый член $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Разделим каждый член $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ на $x$ .

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.3.1.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.3.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.3.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.3.1.1.2.5

Разделим $- 2 x^{2}$ на $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{2} y$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x^{1}} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.3.1.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.3.1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.3.1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x y}{1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.3.1.2.2.5

Разделим $4 x y$ на $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Этап 5.4.3.3.1.3.2

Разделим $- 2 y^{2}$ на $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$