Математический анализ Примеры

$x^{3} - y = \ln (y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} - y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} - y' = \frac{y'}{y}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y$ .

$(3 x^{2} - y') y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} y - y' y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} y - y' y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} y - y' y = y'$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} y - y' y - y' = 0$

Этап 5.3.2

Вычтем $3 x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$- y' y - y' = - 3 x^{2} y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y' y - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $- y' y$ .

$y' (- 1 y) - y' = - 3 x^{2} y$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (- 1 y) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2} y$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 1 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 1 y - 1) = - 3 x^{2} y$

Этап 5.3.4

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$y' (- y - 1) = - 3 x^{2} y$

Этап 5.3.5

Разделим каждый член $y' (- y - 1) = - 3 x^{2} y$ на $- y - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Разделим каждый член $y' (- y - 1) = - 3 x^{2} y$ на $- y - 1$ .

$\frac{y' (- y - 1)}{- y - 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{- y - 1}$

Этап 5.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Сократим общий множитель $- y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- y - 1)}{- y - 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{- y - 1}$

Этап 5.3.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{- y - 1}$

Этап 5.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- y - 1}$

Этап 5.3.5.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- (y) - 1}$

Этап 5.3.5.3.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- (y) - 1 (1)}$

Этап 5.3.5.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- (y + 1)}$

Этап 5.3.5.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.5.1

Перепишем $- (y + 1)$ в виде $- 1 (y + 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- 1 (y + 1)}$

Этап 5.3.5.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - - \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$

Этап 5.3.5.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$

Этап 5.3.5.3.5.4

Умножим $\frac{3 x^{2} y}{y + 1}$ на $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$