Математический анализ Примеры

$\frac{x + 3}{y} = 4 x + y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{x + 3}{y}) = \frac{d}{d x} (4 x + y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 3$ и $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{y (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{y \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{y - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{y - (x + 3) y'}{y^{2}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y + (- x - 1 \cdot 3) y'}{y^{2}}$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y - x y' - 1 \cdot 3 y'}{y^{2}}$

Этап 2.4.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{y - x y' - 3 y'}{y^{2}}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 x + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$4 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$4 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 + 2 y y'$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$2 y y' + 4$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} = 2 y y' + 4$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$- x y' + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Перенесем $x$ .

$- 1 y' x + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перенесем $y$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = (2 y y' + 4) y^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $(2 y y' + 4) y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y y' y^{2} + 4 y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y) y' + 4 y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y^{1}) y' + 4 y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{2 + 1} y' + 4 y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{3} y' + 4 y^{2}$

Этап 5.2.2.1.3

Перенесем $y^{3}$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $- 1 y'$ в виде $- y'$ .

$- y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

Этап 5.3.2

Вычтем $2 y' y^{3}$ из обеих частей уравнения.

$- y' x - 3 y' + y - 2 y' y^{3} = 4 y^{2}$

Этап 5.3.3

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $- y' x$ .

$y' (- 1 x) - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Этап 5.3.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y'$ .

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Этап 5.3.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y' y^{3}$ .

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Этап 5.3.4.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 1 x) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Этап 5.3.4.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3})$ .

$y' (- 1 x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Этап 5.3.5

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Этап 5.3.6

Разделим каждый член $y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ на $- x - 3 - 2 y^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Разделим каждый член $y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ на $- x - 3 - 2 y^{3}$ .

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Этап 5.3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.1

Сократим общий множитель $- x - 3 - 2 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Этап 5.3.6.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Этап 5.3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{4 y^{2} - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Этап 5.3.6.3.2

Вынесем множитель $y$ из $4 y^{2} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $4 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (4 y) - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Этап 5.3.6.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y' = \frac{y (4 y) + y \cdot - 1}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Этап 5.3.6.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (4 y) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Этап 5.3.6.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 3 - 2 y^{3}}$

Этап 5.3.6.3.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 1 (3) - 2 y^{3}}$

Этап 5.3.6.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - 2 y^{3}}$

Этап 5.3.6.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - (2 y^{3})}$

Этап 5.3.6.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x + 3) - (2 y^{3})$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3 + 2 y^{3})}$

Этап 5.3.6.3.8

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.8.1

Перепишем $- (x + 3 + 2 y^{3})$ в виде $- 1 (x + 3 + 2 y^{3})$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- 1 (x + 3 + 2 y^{3})}$

Этап 5.3.6.3.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$