Математический анализ Примеры

$f (z) = (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 z^{3} - z)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ имеет вид $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , где $f (z) = 9 z^{4} + 3 z^{2} + 1$ и $g (z) = 3 z^{3} - z$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [3 z^{3} - z] + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Этап 2

По правилу суммы производная $3 z^{3} - z$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [3 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (\frac{d}{d z} [3 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d z} [3 z^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $z$ , производная $3 z^{3}$ по $z$ равна $3 \frac{d}{d z} [z^{3}]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $3$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d z} [- z]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $z$ , производная $- z$ по $z$ равна $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - \frac{d}{d z} [z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1 \cdot 1) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

Этап 5

По правилу суммы производная $9 z^{4} + 3 z^{2} + 1$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [9 z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (\frac{d}{d z} [9 z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Этап 6

Найдем значение $\frac{d}{d z} [9 z^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $9$ является константой относительно $z$ , производная $9 z^{4}$ по $z$ равна $9 \frac{d}{d z} [z^{4}]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (9 \frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (9 (4 z^{3}) + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Этап 6.3

Умножим $4$ на $9$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Этап 7

Найдем значение $\frac{d}{d z} [3 z^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $z$ , производная $3 z^{2}$ по $z$ равна $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 3 (2 z) + \frac{d}{d z} [1])$

Этап 7.3

Умножим $2$ на $3$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z + \frac{d}{d z} [1])$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $1$ является константой относительно $z$ , производная $1$ относительно $z$ равна $0$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z + 0)$

Этап 8.2

Добавим $36 z^{3} + 6 z$ и $0$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $1$ из $(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)$ .

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

Этап 9.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ .

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + 1 ((3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$

Этап 9.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + 1 ((3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$ .

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$

Этап 9.2

Умножим $(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ на $1$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$(9 z^{2} - 1) (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Развернем $(9 z^{2} - 1) (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$9 z^{2} (9 z^{4}) + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 \cdot 9 z^{2} z^{4} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.2.2

Умножим $z^{2}$ на $z^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1

Перенесем $z^{4}$ .

$9 \cdot 9 (z^{4} z^{2}) + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 \cdot 9 z^{4 + 2} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.2.2.3

Добавим $4$ и $2$ .

$9 \cdot 9 z^{6} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.2.3

Умножим $9$ на $9$ .

$81 z^{6} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{2} z^{2} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.2.5

Умножим $z^{2}$ на $z^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.5.1

Перенесем $z^{2}$ .

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 (z^{2} z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{2 + 2} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.2.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{4} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.2.6

Умножим $9$ на $3$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.2.7

Умножим $9$ на $1$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.2.8

Умножим $9$ на $- 1$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.2.9

Умножим $3$ на $- 1$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 3 z^{2} - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.2.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 3 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.3

Вычтем $9 z^{4}$ из $27 z^{4}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 9 z^{2} - 3 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.4

Вычтем $3 z^{2}$ из $9 z^{2}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.5

Развернем $(36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3} - z) + 6 z (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3} - z)$

Этап 9.4.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{3} z^{3} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.2

Умножим $z^{3}$ на $z^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.1.2.1

Перенесем $z^{3}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 (z^{3} z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{3 + 3} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.2.3

Добавим $3$ и $3$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{6} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.3

Умножим $36$ на $3$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{3} z + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.5

Умножим $z^{3}$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.1.5.1

Перенесем $z$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 (z \cdot z^{3}) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.5.2

Умножим $z$ на $z^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.1.5.2.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 (z^{1} z^{3}) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{1 + 3} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.5.3

Добавим $1$ и $3$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{4} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.6

Умножим $36$ на $- 1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z \cdot z^{3} + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.8

Умножим $z$ на $z^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.1.8.1

Перенесем $z^{3}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 (z^{3} z) + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.8.2

Умножим $z^{3}$ на $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.1.8.2.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 (z^{3} z^{1}) + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z^{3 + 1} + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.8.3

Добавим $3$ и $1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z^{4} + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.9

Умножим $6$ на $3$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 z (- z)$

Этап 9.4.6.1.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 z \cdot z$

Этап 9.4.6.1.11

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.1.11.1

Перенесем $z$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 (z \cdot z)$

Этап 9.4.6.1.11.2

Умножим $z$ на $z$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 z^{2}$

Этап 9.4.6.1.12

Умножим $6$ на $- 1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} - 6 z^{2}$

Этап 9.4.6.2

Добавим $- 36 z^{4}$ и $18 z^{4}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 18 z^{4} - 6 z^{2}$

Этап 9.5

Объединим противоположные члены в $81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 18 z^{4} - 6 z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вычтем $18 z^{4}$ из $18 z^{4}$ .

$81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 0 - 6 z^{2}$

Этап 9.5.2

Добавим $81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6}$ и $0$ .

$81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 6 z^{2}$

Этап 9.5.3

Вычтем $6 z^{2}$ из $6 z^{2}$ .

$81 z^{6} - 1 + 108 z^{6} + 0$

Этап 9.5.4

Добавим $81 z^{6} - 1 + 108 z^{6}$ и $0$ .

$81 z^{6} - 1 + 108 z^{6}$

Этап 9.6

Добавим $81 z^{6}$ и $108 z^{6}$ .

$189 z^{6} - 1$