Математический анализ Примеры

$x^{3} y^{2} - y e^{2 x y} = - 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{2} - y e^{2 x y}) = \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} y^{2} - y e^{2 x y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Этап 2.2.5

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Этап 2.2.6

Перенесем $3$ влево от $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y e^{2 x y}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y e^{2 x y}]$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - \frac{d}{d x} [y e^{2 x y}]$

Этап 2.3.2

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x y$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x y$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 \frac{d}{d x} [x y])) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.5

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.6

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y \cdot 1))) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.8

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y \cdot 1))) + e^{2 x y} y')$

Этап 2.3.9

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y))) + e^{2 x y} y')$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y') + 2 y)) + e^{2 x y} y')$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y')) + e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} y')$

Этап 2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y'))) + y (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} y')$

Этап 2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y')))) - (y (e^{2 x y} (2 y))) - (e^{2 x y} y')$

Этап 2.4.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 (y (e^{2 x y} (x y'))) - (y (e^{2 x y} (2 y))) - (e^{2 x y} y')$

Этап 2.4.5.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{1} y (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

Этап 2.4.5.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{1} y^{1} (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

Этап 2.4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{1 + 1} (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

Этап 2.4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{2} (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

Этап 2.4.5.6

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x y}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{2} (2 \cdot e^{2 x y})) - (e^{2 x y} y')$

Этап 2.4.5.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y'$

Этап 2.4.6

Изменим порядок членов.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 e^{2 x y} x y y' - 2 e^{2 x y} y^{2} - e^{2 x y} y'$

Этап 2.4.7

Изменим порядок множителей в $2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 e^{2 x y} x y y' - 2 e^{2 x y} y^{2} - e^{2 x y} y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y e^{2 x y} y' - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y'$

Этап 3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y e^{2 x y} y' - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y e^{2 x y} y' - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y y' e^{2 x y} - 2 y^{2} e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $3 x^{2} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{3} y y' - 2 x y y' e^{2 x y} - 2 y^{2} e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2}$

Этап 5.2.2

Добавим $2 y^{2} e^{2 x y}$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{3} y y' - 2 x y y' e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $2 x^{3} y y' - 2 x y y' e^{2 x y} - y' e^{2 x y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 x^{3} y y'$ .

$y' (2 x^{3} y) - 2 x y y' e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 x y y' e^{2 x y}$ .

$y' (2 x^{3} y) + y' (- 2 x y e^{2 x y}) - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y' e^{2 x y}$ .

$y' (2 x^{3} y) + y' (- 2 x y e^{2 x y}) + y' (- 1 e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 x^{3} y) + y' (- 2 x y e^{2 x y})$ .

$y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y}) + y' (- 1 e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y}) + y' (- 1 e^{2 x y})$ .

$y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - 1 e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Этап 5.4

Перепишем $- 1 e^{2 x y}$ в виде $- e^{2 x y}$ .

$y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$ на $2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$ на $2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}$ .

$\frac{y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}} = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}} + \frac{2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}} + \frac{2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Этап 5.5.3.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 3 x^{2}) + 2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Этап 5.5.3.2.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $2 y^{2} e^{2 x y}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 3 x^{2}) + y^{2} (2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Этап 5.5.3.2.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (- 3 x^{2}) + y^{2} (2 e^{2 x y})$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 3 x^{2} + 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Этап 5.5.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- (3 x^{2}) + 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Этап 5.5.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $2 e^{2 x y}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- (3 x^{2}) - (- 2 e^{2 x y}))}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Этап 5.5.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 2 e^{2 x y})$ .

$y' = \frac{y^{2} (- (3 x^{2} - 2 e^{2 x y}))}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Этап 5.5.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.6.1

Перепишем $- (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 1 (3 x^{2} - 2 e^{2 x y}))}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Этап 5.5.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2} (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$