Математический анализ Примеры

$\sqrt{x} = 3 \sqrt{y}$

Этап 1

Rewrite the equation with rational exponents.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 3 \sqrt{y}$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 3 y^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (3 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 3.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.7.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 y^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 4.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 4.9

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 4.10

Объединим $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ и $3$ .

$\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.11

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Этап 4.12

Объединим $\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ и $y'$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2

Умножим обе части на $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.1.1.3

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$3 y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 y' = 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 y' = 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$3 y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $y^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.4

Разделим каждый член $3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Разделим каждый член $3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Этап 6.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Этап 6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.4.3.2

Объединим.

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Этап 6.4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.3.1

Умножим $y^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Этап 6.4.3.3.2

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}}}$