Математический анализ Примеры

$x^{2} - y^{3} = 5 x^{2} y - 2 x y^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 x^{2} y - 2 x y^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - (3 y^{2} y')$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 x - 3 y^{2} y'$

Этап 2.3

Изменим порядок членов.

$- 3 y^{2} y' + 2 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} y - 2 x y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2} y$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Этап 3.2.5

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x y^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Этап 3.3.2

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Этап 3.3.6

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Этап 3.3.7

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x) - 2 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x) - 2 (3 x y^{2} y') - 2 y^{3}$

Этап 3.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $2$ на $5$ .

$5 x^{2} y' + 10 (y x) - 2 (3 x y^{2} y') - 2 y^{3}$

Этап 3.4.3.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$5 x^{2} y' + 10 y x - 6 x y^{2} y' - 2 y^{3}$

Этап 3.4.4

Изменим порядок членов.

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 3 y^{2} y' + 2 x = - 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $y'$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' = - 3 y^{2} y' + 2 x$

Этап 5.2

Добавим $3 y^{2} y'$ к обеим частям уравнения.

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $2 y^{3}$ к обеим частям уравнения.

$5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3}$

Этап 5.3.2

Вычтем $10 x y$ из обеих частей уравнения.

$5 x^{2} y' - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $5 x^{2} y' - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $5 x^{2} y'$ .

$y' (5 x^{2}) - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 6 y^{2} x y'$ .

$y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x) + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x)$ .

$y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ на $5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ на $5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2})}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{- 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{- 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} - \frac{10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 x + 2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} - \frac{10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 x + 2 y^{3} - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x) + 2 y^{3} - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (x) + 2 (y^{3}) - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $- 10 x y$ .

$y' = \frac{2 (x) + 2 (y^{3}) + 2 (- 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (y^{3})$ .

$y' = \frac{2 (x + y^{3}) + 2 (- 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Этап 5.5.3.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x + y^{3}) + 2 (- 5 x y)$ .

$y' = \frac{2 (x + y^{3} - 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x + y^{3} - 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$