Математический анализ Примеры

$x^{2} (y - 6) = 12 y + 3$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} (y - 6)) = \frac{d}{d x} (12 y + 3)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y - 6$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y - 6] + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $y - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} (y' + \frac{d}{d x} [- 6]) + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (y' + 0) + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.5

Добавим $y'$ и $0$ .

$x^{2} y' + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} y' + (y - 6) (2 x)$

Этап 2.7

Перенесем $2$ влево от $y - 6$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot (y - 6) x$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} y' + (2 y + 2 \cdot - 6) x$

Этап 2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \cdot - 6 x$

Этап 2.8.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 12 x$

Этап 2.8.4

Изменим порядок членов.

$x^{2} y' + 2 x y - 12 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $12 y + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [12 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 y$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [y]$ .

$12 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$12 y' + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 y' + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $12 y'$ и $0$ .

$12 y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x^{2} y' + 2 x y - 12 x = 12 y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $12 y'$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' + 2 x y - 12 x - 12 y' = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' - 12 x - 12 y' = - 2 x y$

Этап 5.2.2

Добавим $12 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} y' - 12 y' = - 2 x y + 12 x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y' - 12 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - 12 y' = - 2 x y + 12 x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 12 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot - 12 = - 2 x y + 12 x$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{2} + y' \cdot - 12$ .

$y' (x^{2} - 12) = - 2 x y + 12 x$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (x^{2} - 12) = - 2 x y + 12 x$ на $x^{2} - 12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (x^{2} - 12) = - 2 x y + 12 x$ на $x^{2} - 12$ .

$\frac{y' (x^{2} - 12)}{x^{2} - 12} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 12} + \frac{12 x}{x^{2} - 12}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{2} - 12)}{x^{2} - 12} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 12} + \frac{12 x}{x^{2} - 12}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 12} + \frac{12 x}{x^{2} - 12}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 x y + 12 x}{x^{2} - 12}$

Этап 5.4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x y + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x y$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y) + 12 x}{x^{2} - 12}$

Этап 5.4.3.2.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $12 x$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y) + 2 x (6)}{x^{2} - 12}$

Этап 5.4.3.2.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- 1 y) + 2 x (6)$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y + 6)}{x^{2} - 12}$

Этап 5.4.3.2.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$y' = \frac{2 x (- y + 6)}{x^{2} - 12}$

Этап 5.4.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{2 x (- (y) + 6)}{x^{2} - 12}$

Этап 5.4.3.3.2

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$y' = \frac{2 x (- (y) - 1 (- 6))}{x^{2} - 12}$

Этап 5.4.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- 6)$ .

$y' = \frac{2 x (- (y - 6))}{x^{2} - 12}$

Этап 5.4.3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.4.1

Перепишем $- (y - 6)$ в виде $- 1 (y - 6)$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 (y - 6))}{x^{2} - 12}$

Этап 5.4.3.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{(2 x) (y - 6)}{x^{2} - 12}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 x) (y - 6)}{x^{2} - 12}$