Математический анализ Примеры

$e^{4 x y} = 5 y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (e^{4 x y}) = \frac{d}{d x} (5 y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 x y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x y$ .

$e^{4 x y} \frac{d}{d x} [4 x y]$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x y$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$e^{4 x y} (4 \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$e^{4 x y} (4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{4 x y} (4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{4 x y} (4 (x y' + y \cdot 1))$

Этап 2.6

Умножим $y$ на $1$ .

$e^{4 x y} (4 (x y' + y))$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{4 x y} (4 (x y') + 4 y)$

Этап 2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{4 x y} (4 (x y')) + e^{4 x y} (4 y)$

Этап 2.7.3

Изменим порядок членов.

$4 e^{4 x y} x y' + 4 e^{4 x y} y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5 y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 e^{4 x y} x y' + 4 e^{4 x y} y = 5 y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $4 e^{4 x y} x y' + 4 e^{4 x y} y$ .

$4 x y' e^{4 x y} + 4 y e^{4 x y} = 5 y'$

Этап 5.2

Вычтем $5 y'$ из обеих частей уравнения.

$4 x y' e^{4 x y} + 4 y e^{4 x y} - 5 y' = 0$

Этап 5.3

Вычтем $4 y e^{4 x y}$ из обеих частей уравнения.

$4 x y' e^{4 x y} - 5 y' = - 4 y e^{4 x y}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $4 x y' e^{4 x y} - 5 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $4 x y' e^{4 x y}$ .

$y' (4 x e^{4 x y}) - 5 y' = - 4 y e^{4 x y}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 5 y'$ .

$y' (4 x e^{4 x y}) + y' \cdot - 5 = - 4 y e^{4 x y}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (4 x e^{4 x y}) + y' \cdot - 5$ .

$y' (4 x e^{4 x y} - 5) = - 4 y e^{4 x y}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (4 x e^{4 x y} - 5) = - 4 y e^{4 x y}$ на $4 x e^{4 x y} - 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (4 x e^{4 x y} - 5) = - 4 y e^{4 x y}$ на $4 x e^{4 x y} - 5$ .

$\frac{y' (4 x e^{4 x y} - 5)}{4 x e^{4 x y} - 5} = \frac{- 4 y e^{4 x y}}{4 x e^{4 x y} - 5}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $4 x e^{4 x y} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (4 x e^{4 x y} - 5)}{4 x e^{4 x y} - 5} = \frac{- 4 y e^{4 x y}}{4 x e^{4 x y} - 5}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 4 y e^{4 x y}}{4 x e^{4 x y} - 5}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4 y e^{4 x y}}{4 x e^{4 x y} - 5}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y e^{4 x y}}{4 x e^{4 x y} - 5}$