Математический анализ Примеры

$7^{x + y} = y^{\ln (7)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (7^{x + y}) = \frac{d}{d x} (y^{\ln (7)})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 7^{x}$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $7$ .

$7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$7^{x + y} \ln (7) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$7^{x + y} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7^{x + y} \ln (7) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$7^{x + y} \ln (7) (1 + y')$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $7^{x + y} \ln (7) (1 + y')$ .

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\ln (7)}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \ln (7)$ .

$\ln (7) u^{\ln (7) - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\ln (7) y^{\ln (7) - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\ln (7) y^{\ln (7) - 1} y'$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $\ln (7) y^{\ln (7) - 1} y'$ .

$y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $7^{x + y} (1 + y') \ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + 7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Этап 5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(7^{x + y} \cdot 1 + 7^{x + y} y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Этап 5.1.4

Умножим $7^{x + y}$ на $1$ .

$(7^{x + y} + 7^{x + y} y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Этап 5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$7^{x + y} \ln (7) + 7^{x + y} y' \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Этап 5.1.6

Изменим порядок множителей в $7^{x + y} \ln (7) + 7^{x + y} y' \ln (7)$ .

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$ .

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} = \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$

Этап 5.3

Вычтем $\ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ из обеих частей уравнения.

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1} = 0$

Этап 5.4

Вычтем $\ln (7) \cdot 7^{x + y}$ из обеих частей уравнения.

$y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1} = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $y' \ln (7)$ из $y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $y' \ln (7)$ из $- \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ .

$y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) (- 1 y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $y' \ln (7)$ из $y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) (- 1 y^{\ln (7) - 1})$ .

$y' \ln (7) (7^{x + y} - 1 y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Этап 5.6

Перепишем $- 1 y^{\ln (7) - 1}$ в виде $- y^{\ln (7) - 1}$ .

$y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Этап 5.7

Разделим каждый член $y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$ на $\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Разделим каждый член $y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$ на $\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})$ .

$\frac{y' (\ln (7)) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Этап 5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Сократим общий множитель $\ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (\ln (7)) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Этап 5.7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Этап 5.7.2.2

Сократим общий множитель $7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Этап 5.7.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Этап 5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Сократим общий множитель $\ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Этап 5.7.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 1 \cdot 7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$

Этап 5.7.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$