Математический анализ Примеры

$\frac{2 x + y}{x - 5 y} = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{2 x + y}{x - 5 y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x + y$ и $g (x) = x - 5 y$ .

$\frac{(x - 5 y) \frac{d}{d x} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $2 x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $x - 5 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 y$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 \frac{d}{d x} [y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.7

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.1

Развернем $(x - 5 y) (2 + y')$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 + y') - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.2.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- 2 x - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.4

Развернем $(- 2 x - y) (1 - 5 y')$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x (1 - 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.5.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.5.2

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.5.4

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.2

Объединим противоположные члены в $2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 0 + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.2.2

Добавим $x y' - 10 y - 5 y y'$ и $0$ .

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.2.3

Добавим $- 5 y y'$ и $5 y y'$ .

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y + 0}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.2.4

Добавим $x y' - 10 y + 10 x y' - y$ и $0$ .

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.3

Добавим $x y'$ и $10 x y'$ .

$\frac{11 x y' - 10 y - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.4

Вычтем $y$ из $- 10 y$ .

$\frac{11 x y' - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.3

Вынесем множитель $11$ из $11 x y' - 11 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Вынесем множитель $11$ из $11 x y'$ .

$\frac{11 (x y') - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.3.2

Вынесем множитель $11$ из $- 11 y$ .

$\frac{11 (x y') + 11 (- y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 2.8.3.3

Вынесем множитель $11$ из $11 (x y') + 11 (- y)$ .

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем числитель к нулю.

$11 (x y' - y) = 0$

Этап 5.2

Решим уравнение относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $11 (x y' - y) = 0$ на $11$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Разделим каждый член $11 (x y' - y) = 0$ на $11$ .

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

Этап 5.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

Этап 5.2.1.2.1.2

Разделим $x y' - y$ на $1$ .

$x y' - y = \frac{0}{11}$

Этап 5.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Разделим $0$ на $11$ .

$x y' - y = 0$

Этап 5.2.2

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$x y' = y$

Этап 5.2.3

Разделим каждый член $x y' = y$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим каждый член $x y' = y$ на $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

Этап 5.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

Этап 5.2.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$