Математический анализ Примеры

${(3 x - y)}^{2} - 2 y = 2$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(3 x - y)}^{2} - 2 y) = \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(3 x - y)}^{2}$ в виде $(3 x - y) (3 x - y)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x - y) (3 x - y) - 2 y]$

Этап 2.2

Развернем $(3 x - y) (3 x - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x - y) - y (3 x - y) - 2 y]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x (- y) - y (3 x - y) - 2 y]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x (- y) - y (3 x) - y (- y) - 2 y]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x (- y) - y (3 x) - y (- y) - 2 y]$

Этап 2.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x (- y) - y (3 x) - y (- y) - 2 y]$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x^{2} + 3 x (- y) - y (3 x) - y (- y) - 2 y]$

Этап 2.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3 x (- y) - y (3 x) - y (- y) - 2 y]$

Этап 2.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3 \cdot - 1 x y - y (3 x) - y (- y) - 2 y]$

Этап 2.3.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 3 x y - y (3 x) - y (- y) - 2 y]$

Этап 2.3.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 3 x y - 1 \cdot 3 y x - y (- y) - 2 y]$

Этап 2.3.1.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 3 x y - 3 y x - y (- y) - 2 y]$

Этап 2.3.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 3 x y - 3 y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y - 2 y]$

Этап 2.3.1.9

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.9.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 3 x y - 3 y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - 2 y]$

Этап 2.3.1.9.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 3 x y - 3 y x - 1 \cdot - 1 y^{2} - 2 y]$

Этап 2.3.1.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 3 x y - 3 y x + 1 y^{2} - 2 y]$

Этап 2.3.1.11

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 3 x y - 3 y x + y^{2} - 2 y]$

Этап 2.3.2

Вычтем $3 y x$ из $- 3 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 3 x y - 3 x y + y^{2} - 2 y]$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $3 x y$ из $- 3 x y$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 6 x y + y^{2} - 2 y]$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $9 x^{2} - 6 x y + y^{2} - 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.5.3

Умножим $2$ на $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [- 6 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x y$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$18 x - 6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$18 x - 6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.6.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$18 x - 6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$18 x - 6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.6.5

Умножим $y$ на $1$ .

$18 x - 6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$18 x - 6 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.7.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$18 x - 6 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.7.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$18 x - 6 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.7.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$18 x - 6 (x y' + y) + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$18 x - 6 (x y' + y) + 2 y y' - 2 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.8.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$18 x - 6 (x y' + y) + 2 y y' - 2 y'$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$18 x - 6 (x y') - 6 y + 2 y y' - 2 y'$

Этап 2.9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$18 x - 6 x y' - 6 y + 2 y y' - 2 y'$

Этап 2.9.3

Изменим порядок членов.

$- 6 x y' + 2 y y' + 18 x - 6 y - 2 y'$

Этап 3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 6 x y' + 2 y y' + 18 x - 6 y - 2 y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $18 x$ из обеих частей уравнения.

$- 6 x y' + 2 y y' - 6 y - 2 y' = - 18 x$

Этап 5.1.2

Добавим $6 y$ к обеим частям уравнения.

$- 6 x y' + 2 y y' - 2 y' = - 18 x + 6 y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 6 x y' + 2 y y' - 2 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 6 x y'$ .

$2 y' (- 3 x) + 2 y y' - 2 y' = - 18 x + 6 y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y'$ .

$2 y' (- 3 x) + 2 y' y - 2 y' = - 18 x + 6 y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 2 y'$ .

$2 y' (- 3 x) + 2 y' y + 2 y' \cdot - 1 = - 18 x + 6 y$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (- 3 x) + 2 y' y$ .

$2 y' (- 3 x + y) + 2 y' \cdot - 1 = - 18 x + 6 y$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (- 3 x + y) + 2 y' \cdot - 1$ .

$2 y' (- 3 x + y - 1) = - 18 x + 6 y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 y' (- 3 x + y - 1) = - 18 x + 6 y$ на $2 (- 3 x + y - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 y' (- 3 x + y - 1) = - 18 x + 6 y$ на $2 (- 3 x + y - 1)$ .

$\frac{2 y' (- 3 x + y - 1)}{2 (- 3 x + y - 1)} = \frac{- 18 x}{2 (- 3 x + y - 1)} + \frac{6 y}{2 (- 3 x + y - 1)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (- 3 x + y - 1)}{2 (- 3 x + y - 1)} = \frac{- 18 x}{2 (- 3 x + y - 1)} + \frac{6 y}{2 (- 3 x + y - 1)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- 3 x + y - 1)}{- 3 x + y - 1} = \frac{- 18 x}{2 (- 3 x + y - 1)} + \frac{6 y}{2 (- 3 x + y - 1)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 3 x + y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 3 x + y - 1)}{- 3 x + y - 1} = \frac{- 18 x}{2 (- 3 x + y - 1)} + \frac{6 y}{2 (- 3 x + y - 1)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 18 x}{2 (- 3 x + y - 1)} + \frac{6 y}{2 (- 3 x + y - 1)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18 x$ .

$y' = \frac{2 (- 9 x)}{2 (- 3 x + y - 1)} + \frac{6 y}{2 (- 3 x + y - 1)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- 9 x)}{2 (- 3 x + y - 1)} + \frac{6 y}{2 (- 3 x + y - 1)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 9 x}{- 3 x + y - 1} + \frac{6 y}{2 (- 3 x + y - 1)}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{9 x}{- 3 x + y - 1} + \frac{6 y}{2 (- 3 x + y - 1)}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 y$ .

$y' = - \frac{9 x}{- 3 x + y - 1} + \frac{2 (3 y)}{2 (- 3 x + y - 1)}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{9 x}{- 3 x + y - 1} + \frac{2 (3 y)}{2 (- 3 x + y - 1)}$

Этап 5.3.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{9 x}{- 3 x + y - 1} + \frac{3 y}{- 3 x + y - 1}$

Этап 5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 9 x + 3 y}{- 3 x + y - 1}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9 x + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9 x$ .

$y' = \frac{3 (- 3 x) + 3 y}{- 3 x + y - 1}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$y' = \frac{3 (- 3 x) + 3 (y)}{- 3 x + y - 1}$

Этап 5.3.3.2.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 3 x) + 3 (y)$ .

$y' = \frac{3 (- 3 x + y)}{- 3 x + y - 1}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$y' = \frac{3 (- (3 x) + y)}{- 3 x + y - 1}$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$y' = \frac{3 (- (3 x) - 1 (- y))}{- 3 x + y - 1}$

Этап 5.3.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{3 (- (3 x - y))}{- 3 x + y - 1}$

Этап 5.3.3.2.6

Перепишем $- (3 x - y)$ в виде $- 1 (3 x - y)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (3 x - y))}{- 3 x + y - 1}$

Этап 5.3.3.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (3 x - y))}{- (3 x) + y - 1}$

Этап 5.3.3.2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (3 x - y))}{- (3 x) - 1 (- y) - 1}$

Этап 5.3.3.2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (3 x - y))}{- (3 x - y) - 1}$

Этап 5.3.3.2.10

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (3 x - y))}{- (3 x - y) - 1 (1)}$

Этап 5.3.3.2.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x - y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (3 x - y))}{- (3 x - y + 1)}$

Этап 5.3.3.2.12

Перепишем $- (3 x - y + 1)$ в виде $- 1 (3 x - y + 1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (3 x - y))}{- 1 (3 x - y + 1)}$

Этап 5.3.3.2.13

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 (- 1 (3 x - y))}{- 1 (3 x - y + 1)}$

Этап 5.3.3.2.14

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{3 (3 x - y)}{3 x - y + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (3 x - y)}{3 x - y + 1}$