Математический анализ Примеры

$e^{\cos (y)} = x^{9} \arctan (y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d c} (e^{\cos (y)}) = \frac{d}{d c} (x^{9} \arctan (y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ имеет вид $f' (g (c)) g' (c)$ , где $f (c) = e^{c}$ и $g (c) = \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (y)$ .

$e^{\cos (y)} \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$e^{\cos (y)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d c} [y])$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$e^{\cos (y)} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d c} [y])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$e^{\cos (y)} (- \sin (y) \frac{d}{d c} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d c} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{\cos (y)} (- \sin (y) y')$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{\cos (y)} (- \sin (y) y')$ .

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x^{9}$ является константой относительно $c$ , производная $x^{9} \arctan (y)$ по $c$ равна $x^{9} \frac{d}{d c} [\arctan (y)]$ .

$x^{9} \frac{d}{d c} [\arctan (y)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{9} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d c} [y])$

Этап 3.2.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x^{9} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d c} [y])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{9} (\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d}{d c} [y])$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{1 + y^{2}}$ и $x^{9}$ .

$\frac{x^{9}}{1 + y^{2}} \frac{d}{d c} [y]$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d c} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{x^{9}}{1 + y^{2}} y'$

Этап 3.5

Объединим $\frac{x^{9}}{1 + y^{2}}$ и $y'$ .

$\frac{x^{9} y'}{1 + y^{2}}$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y^{2} + 1$ .

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' (y^{2} + 1) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $- e^{\cos (y)} \sin (y) y' (y^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y' \cdot 1 = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y' = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Изменим порядок множителей в $- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y'$ .

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = x^{9} y'$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $x^{9} y'$ из обеих частей уравнения.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y' = 0$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y' = 0$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y' e^{\cos (y)} \sin (y)$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) - x^{9} y' = 0$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $- x^{9} y'$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9}) = 0$

Этап 5.3.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y))$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9}) = 0$

Этап 5.3.2.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9})$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Этап 5.3.3

Перепишем $- 1 y^{2}$ в виде $- y^{2}$ .

$y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Этап 5.3.4

Перепишем $- 1 e^{\cos (y)}$ в виде $- e^{\cos (y)}$ .

$y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Этап 5.3.5

Разделим каждый член $y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$ на $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Разделим каждый член $y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$ на $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ .

$\frac{y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9})}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}} = \frac{0}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}}$

Этап 5.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Сократим общий множитель $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{0}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}}$

Этап 5.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Разделим $0$ на $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ .

$y' = 0$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d c}$ .

$\frac{d y}{d c} = 0$