Математический анализ Примеры

$y = \frac{r}{\sqrt{r^{2} + 8}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{r^{2} + 8}$ в виде ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{r}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d r} (y) = \frac{d}{d r} (\frac{r}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3

Производная $y$ по $r$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ имеет вид $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ , где $f (r) = r$ и $g (r) = {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{1}}$

Этап 4.3

Упростим.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

Этап 4.4.2

Умножим ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ имеет вид $f' (g (r)) g' (r)$ , где $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ и $g (r) = r^{2} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $r^{2} + 8$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Этап 4.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Этап 4.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $r^{2} + 8$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Этап 4.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Этап 4.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Этап 4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Этап 4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Этап 4.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Этап 4.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Этап 4.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{{(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Этап 4.10.3

Перенесем ${(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Этап 4.10.4

Объединим $\frac{1}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ и $r$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8]}{r^{2} + 8}$

Этап 4.11

По правилу суммы производная $r^{2} + 8$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [8]$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [8])}{r^{2} + 8}$

Этап 4.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [8])}{r^{2} + 8}$

Этап 4.13

Поскольку $8$ является константой относительно $r$ , производная $8$ относительно $r$ равна $0$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0)}{r^{2} + 8}$

Этап 4.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Добавим $2 r$ и $0$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r)}{r^{2} + 8}$

Этап 4.14.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 8}$

Этап 4.14.3

Объединим $- 2$ и $\frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 8}$

Этап 4.14.4

Объединим $\frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ и $r$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r \cdot r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.15

Возведем $r$ в степень $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r)}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.16

Возведем $r$ в степень $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r^{1})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{1 + 1}}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.18

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{2}}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.19

Вынесем множитель $2$ из $- 2 r^{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 ({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.20.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.20.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.22

Чтобы записать ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.24

Умножим ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.24.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.24.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.24.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.24.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.25

Упростим ${(r^{2} + 8)}^{1}$ .

$\frac{\frac{r^{2} + 8 - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.26

Вычтем $r^{2}$ из $r^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.27

Добавим $0$ и $8$ .

$\frac{\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Этап 4.28

Перепишем $\frac{\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$ в виде произведения.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 8}$

Этап 4.29

Умножим $\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{r^{2} + 8}$ .

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 8)}$

Этап 4.30

Умножим ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ на $r^{2} + 8$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.30.1

Умножим ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ на $r^{2} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.30.1.1

Возведем $r^{2} + 8$ в степень $1$ .

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{1}}$

Этап 4.30.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 4.30.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 4.30.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 4.30.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d r}$ .

$\frac{d y}{d r} = \frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$