Математический анализ Примеры

$y = \frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)})$

Этап 2

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}$ по $t$ равна $7 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = \tan (t)$ и $g (t) = 5 + 5 \sec (t)$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \frac{d}{d t} [\tan (t)] - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 + 5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.3

Производная $\tan (t)$ по $t$ равна $\sec^{2} (t)$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 + 5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $5 + 5 \sec (t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)]$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.4.2

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5$ относительно $t$ равна $0$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (0 + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [5 \sec (t)]$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.4.4

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 \sec (t)$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (5 \frac{d}{d t} [\sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.4.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan (t) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.5

Производная $\sec (t)$ по $t$ равна $\sec (t) \tan (t)$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.6

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.7

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.10

Объединим $7$ и $\frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$ .

$\frac{7 ((5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (5 \sec^{2} (t) + 5 \sec (t) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (5 \sec^{2} (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Вынесем множитель $7 \sec (t)$ из $7 (5 \sec^{2} (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1.1

Вынесем множитель $7 \sec (t)$ из $7 (5 \sec^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.1.2

Вынесем множитель $7 \sec (t)$ из $7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.1.3

Вынесем множитель $7 \sec (t)$ из $7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.1.4

Вынесем множитель $7 \sec (t)$ из $7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.1.5

Вынесем множитель $7 \sec (t)$ из $7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.2

Вынесем множитель $5$ из $5 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t)) - 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.3

Вынесем множитель $5$ из $- 5 \tan^{2} (t)$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t)) + 5 (- \tan^{2} (t)))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.4

Вынесем множитель $5$ из $5 (\sec^{2} (t)) + 5 (- \tan^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \cdot 1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.8

Умножим $7 \sec (t) (5 \sec (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.8.1

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{35 \sec (t) \sec (t) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.8.2

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\frac{35 (\sec^{1} (t) \sec (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.8.3

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\frac{35 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{35 {\sec (t)}^{1 + 1} + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{35 \sec^{2} (t) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.3.9

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{35 \sec^{2} (t) + 35 \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.4

Вынесем множитель $35 \sec (t)$ из $35 \sec^{2} (t) + 35 \sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1

Вынесем множитель $35 \sec (t)$ из $35 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.4.2

Вынесем множитель $35 \sec (t)$ из $35 \sec (t)$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t) (1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.4.3

Вынесем множитель $35 \sec (t)$ из $35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t) (1)$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5 + 5 \sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 \cdot 1 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.5.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 1 + 5 \sec (t)$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 (1 + \sec (t)))}^{2}}$

Этап 3.11.5.2

Применим правило умножения к $5 (1 + \sec (t))$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{5^{2} {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.5.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{25 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.6

Сократим общий множитель $35$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1

Вынесем множитель $5$ из $35 \sec (t) (\sec (t) + 1)$ .

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{25 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25 {(1 + \sec (t))}^{2}$ .

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{5 (5 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

Этап 3.11.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{5 (5 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

Этап 3.11.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.7

Сократим общий множитель $\sec (t) + 1$ и ${(1 + \sec (t))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.7.1

Изменим порядок членов.

$\frac{7 \sec (t) (1 + \sec (t))}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.7.2

Вынесем множитель $1 + \sec (t)$ из $7 \sec (t) (1 + \sec (t))$ .

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.11.7.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.7.3.1

Вынесем множитель $1 + \sec (t)$ из $5 {(1 + \sec (t))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (5 (1 + \sec (t)))}$

Этап 3.11.7.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (5 (1 + \sec (t)))}$

Этап 3.11.7.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$