Математический анализ Примеры

$y = {(5 t^{2} - 4 t)}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(5 t^{2} - 4 t)}^{2})$

Этап 2

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = 5 t^{2} - 4 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 t^{2} - 4 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 t^{2} - 4 t$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $5 t^{2} - 4 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Этап 3.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t^{2}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Этап 3.2.4

Умножим $2$ на $5$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $t$ , производная $- 4 t$ по $t$ равна $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \cdot 1)$

Этап 3.2.7

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4)$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Этап 3.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $5$ на $2$ .

$(10 t^{2} + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$

Этап 3.3.3

Изменим порядок множителей в $(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$ .

$(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$

Этап 3.3.4

Развернем $(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 t (10 t^{2} - 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Этап 3.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Этап 3.3.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Этап 3.3.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$10 \cdot 10 t \cdot t^{2} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Этап 3.3.5.1.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.2.1

Перенесем $t^{2}$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Этап 3.3.5.1.2.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t^{1}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Этап 3.3.5.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 \cdot 10 t^{2 + 1} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Этап 3.3.5.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$10 \cdot 10 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Этап 3.3.5.1.3

Умножим $10$ на $10$ .

$100 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Этап 3.3.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t \cdot t - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Этап 3.3.5.1.5

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.5.1

Перенесем $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 (t \cdot t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Этап 3.3.5.1.5.2

Умножим $t$ на $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Этап 3.3.5.1.6

Умножим $10$ на $- 8$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Этап 3.3.5.1.7

Умножим $10$ на $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} - 4 (- 8 t)$

Этап 3.3.5.1.8

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} + 32 t$

Этап 3.3.5.2

Вычтем $40 t^{2}$ из $- 80 t^{2}$ .

$100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$