Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{\frac{t}{t + 1}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{t}{t + 1}}$ в виде ${(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ и $g (t) = \frac{t}{t + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{t}{t + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{t}{t + 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Этап 4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = t + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 4.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.2

Умножим $t + 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.3

По правилу суммы производная $t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.6.3

Вычтем $t$ из $t$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.6.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 4.8.6.5

Умножим $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 4.8.6.6

Перенесем $2$ влево от ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(t + 1)}^{2}} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 4.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}} {(\frac{t + 1}{t})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.9.2

Применим правило умножения к $\frac{t + 1}{t}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.1

Умножим $\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}}$ на $\frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.3.2

Перенесем ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.3.3

Умножим ${(t + 1)}^{2}$ на ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.3.1

Перенесем ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(t + 1)}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.3.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.3.3.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.3.3.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.3.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.3.3.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$