Математический анализ Примеры

$y = arccot (\sqrt{t})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y = arccot (t^{\frac{1}{2}})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (arccot (t^{\frac{1}{2}}))$

Этап 3

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = arccot (t)$ и $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Производная $arccot (u)$ по $u$ равна $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1 + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{1 + t^{1}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.3

Упростим.

$- \frac{1}{1 + t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 4.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 4.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 4.8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Этап 4.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + t} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 4.11

Умножим $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $\frac{1}{1 + t}$ .

$- \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2 (1 + t)}$

Этап 4.12

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 (1 + t) t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{(2 \cdot 1 + 2 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{2 \cdot 1 t^{\frac{1}{2}} + 2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.3.2

Умножим $t$ на $t^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.3.2.1

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

Этап 4.13.3.2.2

Умножим $t^{\frac{1}{2}}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.3.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

Этап 4.13.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 4.13.3.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 4.13.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 4.13.3.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.13.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.4.1

Вынесем множитель $2 t^{\frac{1}{2}}$ из $2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.4.1.1

Вынесем множитель $2 t^{\frac{1}{2}}$ из $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1) + 2 t^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.13.4.1.2

Вынесем множитель $2 t^{\frac{1}{2}}$ из $2 t^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1) + 2 t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{2}{2}})}$

Этап 4.13.4.1.3

Вынесем множитель $2 t^{\frac{1}{2}}$ из $2 t^{\frac{1}{2}} (1) + 2 t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{2}{2}})$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{2}{2}})}$

Этап 4.13.4.2

Разделим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{1})}$

Этап 4.13.4.3

Упростим.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t)}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t)}$