Математический анализ Примеры

$y = 5 + 4.9 \cos (\frac{π}{6} t)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (5 + 4.9 \cos (\frac{π}{6} t))$

Этап 2

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $5 + 4.9 \cos (\frac{π}{6} t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$

Этап 3.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{π}{6}$ и $t$ .

$0 + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π t}{6})]$

Этап 3.2.2

Поскольку $4.9$ является константой относительно $t$ , производная $4.9 \cos (\frac{π t}{6})$ по $t$ равна $4.9 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$ .

$0 + 4.9 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cos (t)$ и $g (t) = \frac{π t}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π t}{6}$ .

$0 + 4.9 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Этап 3.2.3.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$0 + 4.9 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π t}{6}$ .

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Этап 3.2.4

Поскольку $\frac{π}{6}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{π t}{6}$ по $t$ равна $\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \cdot 1))$

Этап 3.2.6

Умножим $\frac{π}{6}$ на $1$ .

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{π}{6})$

Этап 3.2.7

Объединим $\frac{π}{6}$ и $\sin (\frac{π t}{6})$ .

$0 + 4.9 (- \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6})$

Этап 3.2.8

Умножим $- 1$ на $4.9$ .

$0 - 4.9 \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Этап 3.2.9

Объединим $- 4.9$ и $\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$ .

$0 + \frac{- 4.9 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{6}$

Этап 3.2.10

Умножим $π$ на $- 4.9$ .

$0 + \frac{- 15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Этап 3.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Этап 3.3

Вычтем $\frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$ из $0$ .

$- \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$