Математический анализ Примеры

$y = \ln (\ln (2 t^{3}))$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\ln (\ln (2 t^{3})))$

Этап 2

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = \ln (2 t^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (2 t^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [\ln (2 t^{3})]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [\ln (2 t^{3})]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (2 t^{3})$ .

$\frac{1}{\ln (2 t^{3})} \frac{d}{d t} [\ln (2 t^{3})]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 t^{3}$ .

$\frac{1}{\ln (2 t^{3})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t^{3}])$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (2 t^{3})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{3}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 t^{3}$ .

$\frac{1}{\ln (2 t^{3})} (\frac{1}{2 t^{3}} \frac{d}{d t} [2 t^{3}])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{1}{2 t^{3}}$ на $\frac{1}{\ln (2 t^{3})}$ .

$\frac{1}{2 t^{3} \ln (2 t^{3})} \frac{d}{d t} [2 t^{3}]$

Этап 3.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t^{3}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{2 t^{3} \ln (2 t^{3})} (2 \frac{d}{d t} [t^{3}])$

Этап 3.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 t^{3} \ln (2 t^{3})}$ .

$\frac{2}{2 t^{3} \ln (2 t^{3})} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 t^{3} \ln (2 t^{3})} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 3.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{t^{3} \ln (2 t^{3})} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{t^{3} \ln (2 t^{3})} (3 t^{2})$

Этап 3.3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{t^{3} \ln (2 t^{3})}$ .

$\frac{3}{t^{3} \ln (2 t^{3})} t^{2}$

Этап 3.3.5.2

Объединим $\frac{3}{t^{3} \ln (2 t^{3})}$ и $t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2}}{t^{3} \ln (2 t^{3})}$

Этап 3.3.5.3

Сократим общий множитель $t^{2}$ и $t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $3 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3}{t^{3} \ln (2 t^{3})}$

Этап 3.3.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.2.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{3} \ln (2 t^{3})$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3}{t^{2} (t \ln (2 t^{3}))}$

Этап 3.3.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{2} \cdot 3}{t^{2} (t \ln (2 t^{3}))}$

Этап 3.3.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{t \ln (2 t^{3})}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{3}{t \ln (2 t^{3})}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{3}{t \ln (2 t^{3})}$