Математический анализ Примеры

$y = t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π})$

Этап 2

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t \sin (π t)] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$ .

$\frac{d}{d t} [t \sin (π t)] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [t \sin (π t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = \sin (π t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\sin (π t)] + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \sin (t)$ и $g (t) = π t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $π t$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.2.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$t (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $π t$ .

$t (\cos (π t) \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.2.3

Поскольку $π$ является константой относительно $t$ , производная $π t$ по $t$ равна $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (\cos (π t) (π \frac{d}{d t} [t])) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$t (\cos (π t) (π \cdot 1)) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$t (\cos (π t) (π \cdot 1)) + \sin (π t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.2.6

Умножим $π$ на $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.2.7

Умножим $\sin (π t)$ на $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $\frac{1}{π}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)$ по $t$ равна $\frac{1}{π} \frac{d}{d t} [\cos (π t)]$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} \frac{d}{d t} [\cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $π t$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.3.2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $π t$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.3.3

Поскольку $π$ является константой относительно $t$ , производная $π t$ по $t$ равна $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) (π \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) (π \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.3.5

Умножим $π$ на $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) π) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.3.6

Объединим $\frac{1}{π}$ и $\sin (π t)$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{\sin (π t)}{π} π + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.3.7

Объединим $π$ и $\frac{\sin (π t)}{π}$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{π \sin (π t)}{π} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.3.8

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Сократим общий множитель.

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{π \sin (π t)}{π} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.3.8.2

Разделим $\sin (π t)$ на $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \sin (π t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Этап 3.4

Поскольку $- \frac{1}{π}$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{1}{π}$ относительно $t$ равна $0$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \sin (π t) + 0$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $\sin (π t)$ из $\sin (π t)$ .

$t (\cos (π t) π) + 0 + 0$

Этап 3.5.1.2

Добавим $t (\cos (π t) π)$ и $0$ .

$t (\cos (π t) π) + 0$

Этап 3.5.1.3

Добавим $t (\cos (π t) π)$ и $0$ .

$t (\cos (π t) π)$

Этап 3.5.2

Изменим порядок множителей в $t (\cos (π t) π)$ .

$π t \cos (π t)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = π t \cos (π t)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = π t \cos (π t)$