Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + x} - x$

Этап 1

Рационализируем числитель с помощью умножения.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + x} - x) (\sqrt{x^{2} + x} + x)}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем числитель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + x}}^{2} + \sqrt{x^{2} + x} x + \sqrt{x^{2} + x} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 0}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Этап 2.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Этап 3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x} + x}$

Этап 3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}} + x}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1} + x}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (x + 1)} + x}$

Этап 4

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Этап 5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Этап 5.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + 1}$

Этап 6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}} + 1}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}} + 1}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Этап 7.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Этап 7.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 8

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 9.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 9.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 9.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 9.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 10

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 11

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 11.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}} + 1}$

Этап 11.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Разделим $1 + 0$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Этап 11.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Этап 11.3.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{1 + 1}$

Этап 11.3.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$