Математический анализ Примеры

$z = \frac{4 - 3 x}{3 x^{2} + x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d z} (z) = \frac{d}{d z} (\frac{4 - 3 x}{3 x^{2} + x})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x) + x}]$

Этап 3.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x) + x^{1}}]$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x) + x \cdot 1}]$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x + 1)}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ имеет вид $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , где $f (z) = 4 - 3 x$ и $g (z) = x (3 x + 1)$ .

$\frac{x (3 x + 1) \frac{d}{d z} [4 - 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $4 - 3 x$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- 3 x]$ .

$\frac{x (3 x + 1) (\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $z$ , производная $4$ относительно $z$ равна $0$ .

$\frac{x (3 x + 1) (0 + \frac{d}{d z} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d z} [- 3 x]$ .

$\frac{x (3 x + 1) \frac{d}{d z} [- 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $z$ , производная $- 3 x$ по $z$ равна $- 3 \frac{d}{d z} [x]$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 \frac{d}{d z} [x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d z} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ имеет вид $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , где $f (z) = x$ и $g (z) = 3 x + 1$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x \frac{d}{d z} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

По правилу суммы производная $3 x + 1$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [3 x] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (\frac{d}{d z} [3 x] + \frac{d}{d z} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.6.2

Поскольку $3$ является константой относительно $z$ , производная $3 x$ по $z$ равна $3 \frac{d}{d z} [x]$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 \frac{d}{d z} [x] + \frac{d}{d z} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.7

Перепишем $\frac{d}{d z} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x' + \frac{d}{d z} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $z$ , производная $1$ относительно $z$ равна $0$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x' + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.9

Добавим $3 x'$ и $0$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.10

Перепишем $\frac{d}{d z} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Применим правило умножения к $x (3 x + 1)$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x (3 x) + x \cdot 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x) (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x) (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x) (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot 3 (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot x^{2} (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.3

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.5.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (3 x x' + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.6.2

Умножим $x'$ на $1$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (3 x x' + 3 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.7

Добавим $3 x x'$ и $3 x x'$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (6 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.8

Развернем $(- 4 + 3 x) (6 x x' + x')$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 4 (6 x x' + x') + 3 x (6 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 4 (6 x x') - 4 x' + 3 x (6 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 4 (6 x x') - 4 x' + 3 x (6 x x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1.9.1.1

Умножим $6$ на $- 4$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 (x x') - 4 x' + 3 x (6 x x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.9.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1.9.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 x x' - 4 x' + 3 (x \cdot x) (6 x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.9.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 x x' - 4 x' + 3 x^{2} (6 x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.9.1.3

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 x x' - 4 x' + 18 x^{2} x' + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.1.9.2

Добавим $- 24 x x'$ и $3 x x'$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 21 x x' - 4 x' + 18 x^{2} x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.2

Добавим $- 9 x^{2} x'$ и $18 x^{2} x'$ .

$\frac{9 x^{2} x' - 3 x x' - 21 x x' - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.6.3

Вычтем $21 x x'$ из $- 3 x x'$ .

$\frac{9 x^{2} x' - 24 x x' - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.7

Вынесем множитель $x'$ из $9 x^{2} x' - 24 x x' - 4 x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.7.1

Вынесем множитель $x'$ из $9 x^{2} x'$ .

$\frac{x' (9 x^{2}) - 24 x x' - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.7.2

Вынесем множитель $x'$ из $- 24 x x'$ .

$\frac{x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.7.3

Вынесем множитель $x'$ из $- 4 x'$ .

$\frac{x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) + x' \cdot - 4}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.7.4

Вынесем множитель $x'$ из $x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x)$ .

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.7.5

Вынесем множитель $x'$ из $x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4$ .

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11.8

Изменим порядок множителей в $\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} = 1$ .

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} = 1$

Этап 5.2

Умножим обе части на $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} (x^{2} {(3 x + 1)}^{2}) = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим $\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} (x^{2} {(3 x + 1)}^{2}) = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Этап 5.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(9 x^{2} - 24 x - 4) x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Этап 5.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} x' - 24 x x' - 4 x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Этап 5.3.1.1.3

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$9 x' x^{2} - 24 x x' - 4 x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Этап 5.3.1.1.3.2

Перенесем $x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ на $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$

Этап 5.4

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Перепишем ${(3 x + 1)}^{2}$ в виде $(3 x + 1) (3 x + 1)$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} ((3 x + 1) (3 x + 1))$

Этап 5.4.1.2

Развернем $(3 x + 1) (3 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1))$

Этап 5.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1))$

Этап 5.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Этап 5.4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Этап 5.4.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Этап 5.4.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Этап 5.4.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Этап 5.4.1.3.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Этап 5.4.1.3.1.5

Умножим $3 x$ на $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 \cdot 1)$

Этап 5.4.1.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1)$

Этап 5.4.1.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 6 x + 1)$

Этап 5.4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 1$

Этап 5.4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 1$

Этап 5.4.1.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2} x^{2} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot 1$

Этап 5.4.1.5.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2} x^{2} + 6 x^{2} x + x^{2}$

Этап 5.4.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 (x^{2} x^{2}) + 6 x^{2} x + x^{2}$

Этап 5.4.1.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2 + 2} + 6 x^{2} x + x^{2}$

Этап 5.4.1.6.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{2} x + x^{2}$

Этап 5.4.1.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.2.1

Перенесем $x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2}$

Этап 5.4.1.6.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2}$

Этап 5.4.1.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{1 + 2} + x^{2}$

Этап 5.4.1.6.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $x'$ из $9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $x'$ из $9 x' x^{2}$ .

$x' (9 x^{2}) - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Этап 5.4.2.2

Вынесем множитель $x'$ из $- 24 x' x$ .

$x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Этап 5.4.2.3

Вынесем множитель $x'$ из $- 4 x'$ .

$x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) + x' \cdot - 4 = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Этап 5.4.2.4

Вынесем множитель $x'$ из $x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x)$ .

$x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4 = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Этап 5.4.2.5

Вынесем множитель $x'$ из $x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4$ .

$x' (9 x^{2} - 24 x - 4) = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Этап 5.4.3

Разделим каждый член $x' (9 x^{2} - 24 x - 4) = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$ на $9 x^{2} - 24 x - 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Разделим каждый член $x' (9 x^{2} - 24 x - 4) = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$ на $9 x^{2} - 24 x - 4$ .

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{9 x^{2} - 24 x - 4} = \frac{9 x^{4}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{6 x^{3}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Этап 5.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Сократим общий множитель $9 x^{2} - 24 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{9 x^{2} - 24 x - 4} = \frac{9 x^{4}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{6 x^{3}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Этап 5.4.3.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{9 x^{4}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{6 x^{3}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Этап 5.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Этап 5.4.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{4}$ .

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2}) + 6 x^{3} + x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Этап 5.4.3.3.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $6 x^{3}$ .

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Этап 5.4.3.3.2.1.3

Умножим на $1$ .

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 1}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Этап 5.4.3.3.2.1.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x)$ .

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2} + 6 x) + x^{2} \cdot 1}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Этап 5.4.3.3.2.1.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (9 x^{2} + 6 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2} + 6 x + 1)}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Этап 5.4.3.3.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.2.2.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$x' = \frac{x^{2} ({(3 x)}^{2} + 6 x + 1)}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Этап 5.4.3.3.2.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x' = \frac{x^{2} ({(3 x)}^{2} + 6 x + 1^{2})}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Этап 5.4.3.3.2.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 1$

Этап 5.4.3.3.2.2.4

Перепишем многочлен.

$x' = \frac{x^{2} ({(3 x)}^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot 1 + 1^{2})}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Этап 5.4.3.3.2.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 3 x$ и $b = 1$ .

$x' = \frac{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d z}$ .

$\frac{d x}{d z} = \frac{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$