Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{5} - 9}{x^{4}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{5} - 9$ и $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x^{5} - 9] - (x^{5} - 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x^{5} - 9] - (x^{5} - 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x^{5} - 9] - (x^{5} - 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{5} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{5} - 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{5} - 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4} + 0) - (x^{5} - 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 2.5

Добавим $5 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4}) - (x^{5} - 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 3

Умножим $x^{4}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} x^{4} \cdot 5 - (x^{5} - 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{4 + 4} \cdot 5 - (x^{5} - 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 3.3

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{x^{8} \cdot 5 - (x^{5} - 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 4

Перенесем $5$ влево от $x^{8}$ .

$\frac{5 \cdot x^{8} - (x^{5} - 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{5 x^{8} - (x^{5} - 9) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Этап 6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{5 x^{8} - 4 (x^{5} - 9) x^{3}}{x^{8}}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $5 x^{8} - 4 (x^{5} - 9) x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $5 x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (5 x^{5}) - 4 (x^{5} - 9) x^{3}}{x^{8}}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 4 (x^{5} - 9) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (5 x^{5}) + x^{3} (- 4 (x^{5} - 9))}{x^{8}}$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (5 x^{5}) + x^{3} (- 4 (x^{5} - 9))$ .

$\frac{x^{3} (5 x^{5} - 4 (x^{5} - 9))}{x^{8}}$

Этап 7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (5 x^{5} - 4 (x^{5} - 9))}{x^{3} x^{5}}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} (5 x^{5} - 4 (x^{5} - 9))}{x^{3} x^{5}}$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x^{5} - 4 (x^{5} - 9)}{x^{5}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{5} - 4 x^{5} - 4 \cdot - 9}{x^{5}}$

Этап 8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$\frac{5 x^{5} - 4 x^{5} + 36}{x^{5}}$

Этап 8.2.2

Вычтем $4 x^{5}$ из $5 x^{5}$ .

$\frac{x^{5} + 36}{x^{5}}$