Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{3 x^{3}}$ по $y$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = 1$ и $g (y) = x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{3}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.6

Умножим $x^{3}$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - 3 (x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.9

Вычтем $3 x^{2} x'$ из $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.10

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.10.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{x^{6}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.11

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.11.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 x^{2} x'$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{6}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.11.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{2} x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{2} x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x'}{x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} (- \frac{3 x'}{x^{4}}) + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.13

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3 x'}{x^{4}}$ .

$- \frac{3 x'}{3 x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.14

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.14.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 x'}{3 x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.2.14.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $\frac{1}{10}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x^{7}}{10}$ по $y$ равна $\frac{1}{10} \frac{d}{d y} [x^{7}]$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} \frac{d}{d y} [x^{7}]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 x^{6} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 x^{6} x')$

Этап 3.3.4

Объединим $7$ и $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{7}{10} (x^{6} x')$

Этап 3.3.5

Объединим $x^{6}$ и $\frac{7}{10}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{x^{6} \cdot 7}{10} x'$

Этап 3.3.6

Объединим $\frac{x^{6} \cdot 7}{10}$ и $x'$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{x^{6} \cdot 7 x'}{10}$

Этап 3.3.7

Перенесем $7$ влево от $x^{6}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{7 x^{6} x'}{10}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}}$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ .

$\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$10, x^{4}, 1$

Этап 5.2.2

Так как $10, x^{4}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $10, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{4}$ .

Этап 5.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.2.4

У $10$ есть множители: $2$ и $5$ .

$2 \cdot 5$

Этап 5.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.2.6

НОК $10, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 5$

Этап 5.2.7

Умножим $2$ на $5$ .

$10$

Этап 5.2.8

Множители $x^{4}$ — $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $4$ раз.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ встречается $4$ раз.

Этап 5.2.9

НОК $x^{4}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Этап 5.2.10

Упростим $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Этап 5.2.10.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Этап 5.2.10.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Этап 5.2.10.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Этап 5.2.10.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.3.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Этап 5.2.10.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 1}$

Этап 5.2.10.3.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4}$

Этап 5.2.11

НОК $10, x^{4}, 1$ представляет собой произведение числовой части $10$ и переменной части.

$10 x^{4}$

Этап 5.3

Каждый член в $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ умножим на $10 x^{4}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ на $10 x^{4}$ .

$\frac{7 x^{6} x'}{10} (10 x^{4}) - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$10 \frac{7 x^{6} x'}{10} x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$10 \frac{7 x^{6} x'}{10} x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Этап 5.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$7 x^{6} x' x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим $x^{6}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Перенесем $x^{4}$ .

$7 (x^{4} x^{6}) x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Этап 5.3.2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 x^{4 + 6} x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Этап 5.3.2.1.3.3

Добавим $4$ и $6$ .

$7 x^{10} x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Этап 5.3.2.1.4

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x'}{x^{4}}$ в числитель.

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Этап 5.3.2.1.4.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $10 x^{4}$ .

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (x^{4} \cdot 10) = 1 (10 x^{4})$

Этап 5.3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (x^{4} \cdot 10) = 1 (10 x^{4})$

Этап 5.3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$7 x^{10} x' - x' \cdot 10 = 1 (10 x^{4})$

Этап 5.3.2.1.5

Умножим $10$ на $- 1$ .

$7 x^{10} x' - 10 x' = 1 (10 x^{4})$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $10 x^{4}$ на $1$ .

$7 x^{10} x' - 10 x' = 10 x^{4}$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $x'$ из $7 x^{10} x' - 10 x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $x'$ из $7 x^{10} x'$ .

$x' (7 x^{10}) - 10 x' = 10 x^{4}$

Этап 5.4.1.2

Вынесем множитель $x'$ из $- 10 x'$ .

$x' (7 x^{10}) + x' \cdot - 10 = 10 x^{4}$

Этап 5.4.1.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' (7 x^{10}) + x' \cdot - 10$ .

$x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$ на $7 x^{10} - 10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$ на $7 x^{10} - 10$ .

$\frac{x' (7 x^{10} - 10)}{7 x^{10} - 10} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $7 x^{10} - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (7 x^{10} - 10)}{7 x^{10} - 10} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$