Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 x^{2} - 5 x}{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - 5 x}{3})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) - 5 x}{3}]$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) + x \cdot - 5}{3}]$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x) + x \cdot - 5$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x - 5)}{3}]$

Этап 3.1.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x (2 x - 5)}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 2 x - 5$ .

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [2 x - 5] + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $2 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{3} (x (2 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} (x (2 + 0) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{3} (x \cdot 2 + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.6.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot x + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (2 x + (2 x - 5) \cdot 1)$

Этап 3.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Умножим $2 x - 5$ на $1$ .

$\frac{1}{3} (2 x + 2 x - 5)$

Этап 3.3.8.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{1}{3} (4 x - 5)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} (4 x) + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Этап 3.4.2.2

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Этап 3.4.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 5$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Этап 3.4.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$