Математический анализ Примеры

$y = \frac{5}{2 x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5}{2 x^{2}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{5}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{2 x^{2}}$ по $x$ равна $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Этап 3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$\frac{5}{2} (- 2 x^{- 3})$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $- 2$ и $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{2} x^{- 3}$

Этап 3.4.2

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{- 10}{2} x^{- 3}$

Этап 3.4.3

Объединим $\frac{- 10}{2}$ и $x^{- 3}$ .

$\frac{- 10 x^{- 3}}{2}$

Этап 3.4.4

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 10}{2 x^{3}}$

Этап 3.4.5

Сократим общий множитель $- 10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 x^{3}}$

Этап 3.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{3})}$

Этап 3.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 x^{3}}$

Этап 3.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5}{x^{3}}$

Этап 3.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{x^{3}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{5}{x^{3}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{x^{3}}$