Математический анализ Примеры

$y = e^{3 x \tan (7 x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{3 x \tan (7 x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x \tan (7 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x \tan (7 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x \tan (7 x)]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x \tan (7 x)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x \tan (7 x)$ .

$e^{3 x \tan (7 x)} \frac{d}{d x} [3 x \tan (7 x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x \tan (7 x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x \tan (7 x)]$ .

$e^{3 x \tan (7 x)} (3 \frac{d}{d x} [x \tan (7 x)])$

Этап 3.2.2

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x \tan (7 x)}$ .

$3 \cdot e^{3 x \tan (7 x)} \frac{d}{d x} [x \tan (7 x)]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \tan (7 x)$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x \frac{d}{d x} [\tan (7 x)] + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $7 x$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x]) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $7 x$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (7 x) (7 \cdot 1)) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим $7$ на $1$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (7 x) \cdot 7) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5.3.2

Перенесем $7$ влево от $\sec^{2} (7 x)$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (7 \cdot \sec^{2} (7 x)) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (7 \sec^{2} (7 x)) + \tan (7 x) \cdot 1)$

Этап 3.5.5

Умножим $\tan (7 x)$ на $1$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (7 \sec^{2} (7 x)) + \tan (7 x))$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (7 \sec^{2} (7 x))) + 3 e^{3 x \tan (7 x)} \tan (7 x)$

Этап 3.6.2

Умножим $7$ на $3$ .

$21 e^{3 x \tan (7 x)} x \sec^{2} (7 x) + 3 e^{3 x \tan (7 x)} \tan (7 x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 21 e^{3 x \tan (7 x)} x \sec^{2} (7 x) + 3 e^{3 x \tan (7 x)} \tan (7 x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 21 e^{3 x \tan (7 x)} x \sec^{2} (7 x) + 3 e^{3 x \tan (7 x)} \tan (7 x)$