Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} 3^{2 x - 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 x - 1$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 1 - 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$u_{lower} = - 2 - 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$u_{lower} = - 3$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 3}^{1} 3^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $3^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{1} \frac{3^{u}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{1} 3^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $3^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} \frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$ .

$\frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}}{2}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ в $1$ и в $- 3$ .

$\frac{(\frac{3^{1}}{\ln (3)}) - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

Этап 6.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)}}{2}$

Этап 6.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}}{2}$

Этап 6.2.4

Перепишем $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ в виде произведения.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - (\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)})}{2}$

Этап 6.2.5

Умножим $\frac{1}{27}$ на $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

Этап 6.2.6

Умножим $\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$ на $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$\frac{\ln (3)}{\ln (3)} \cdot \frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

Этап 6.2.7

Объединим.

$\frac{\ln (3) (\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Этап 6.2.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Этап 6.2.9

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Этап 6.2.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Этап 6.2.10

Объединим $\ln (3)$ и $\frac{1}{27 \ln (3)}$ .

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

Этап 6.2.11

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

Этап 6.2.11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Этап 6.2.12

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{3 \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Этап 6.2.13

Объединим $3$ и $\frac{27}{27}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Этап 6.2.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 \cdot 27 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Этап 6.2.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.15.1

Умножим $3$ на $27$ .

$\frac{\frac{81 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Этап 6.2.15.2

Вычтем $1$ из $81$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Этап 6.2.16

Перенесем $2$ влево от $\ln (3)$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{2 \cdot \ln (3)}$

Этап 6.2.17

Перепишем $\frac{\frac{80}{27}}{2 \ln (3)}$ в виде произведения.

$\frac{80}{27} \cdot \frac{1}{2 \ln (3)}$

Этап 6.2.18

Умножим $\frac{80}{27}$ на $\frac{1}{2 \ln (3)}$ .

$\frac{80}{27 (2 \ln (3))}$

Этап 6.2.19

Умножим $2$ на $27$ .

$\frac{80}{54 \ln (3)}$

Этап 6.2.20

Сократим общий множитель $80$ и $54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.20.1

Вынесем множитель $2$ из $80$ .

$\frac{2 (40)}{54 \ln (3)}$

Этап 6.2.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $54 \ln (3)$ .

$\frac{2 (40)}{2 (27 \ln (3))}$

Этап 6.2.20.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 40}{2 (27 \ln (3))}$

Этап 6.2.20.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

Десятичная форма:

$1.34850255 \dots$

Этап 8