Математический анализ Примеры

$y = \frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = 1 + \csc (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.2

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $1 + \csc (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.4

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + 1 \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.5.2

Умножим $\cot (x)$ на $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.6

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.7

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $1 (- \csc^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.1.2

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\cot^{2} (x) \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.1.3

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.1.4

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.6.1

Умножим $- \csc (x)$ на $1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- \csc (x) \csc (x) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.9

Перенесем $- 1$ влево от $\csc (x)$ .

$\frac{- \csc (x) \csc (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.10.1

Умножим $- \csc (x) \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.10.1.1

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.10.1.2

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.10.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- {\csc (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.10.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.2.10.2

Перепишем $- 1 \csc (x)$ в виде $- \csc (x)$ .

$\frac{- \csc^{2} (x) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- \csc^{2} (x) - \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.3.1.2

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.3.1.3

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.3.2.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\csc (x)) - 1 (1)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x) + 1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

$\frac{\csc (x) \cdot - 1 (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.3.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- \csc (x) (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.4

Сократим общий множитель $\csc (x) + 1$ и ${(1 + \csc (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{- \csc (x) (1 + \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.4.2

Вынесем множитель $1 + \csc (x)$ из $- \csc (x) (1 + \csc (x))$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Этап 3.10.4.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.4.3.1

Вынесем множитель $1 + \csc (x)$ из ${(1 + \csc (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Этап 3.10.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Этап 3.10.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Этап 3.10.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$