Математический анализ Примеры

$y = \frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{\cos (x)}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{1}{\cos (x)}$ в виде $\cos^{- 1} (x)$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$5 (- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Этап 3.2.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$5 (- \cos^{- 2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Этап 3.2.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$5 (1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Этап 3.2.6

Умножим $\cos^{- 2} (x)$ на $1$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

Этап 3.3.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]$

Этап 3.3.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 3.3.4

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Этап 3.4.2

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$5 \sec^{2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Этап 3.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Этап 3.4.3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Этап 3.4.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Этап 3.4.3.4

Объединим $5$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Этап 3.4.3.5

Объединим $\frac{5}{\cos^{2} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \csc^{2} (x)$

Этап 3.4.3.6

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 3.4.3.7

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.4.2

Разделим дроби.

$\frac{5}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.4.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.4.4

Разделим дроби.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.4.5

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{5}{1} \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.4.6

Разделим $5$ на $1$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.4.7

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.4.8

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 3.4.4.9

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$