Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 2})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 2 x - 2$ и $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 2] - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2.7

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2.8

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2.10

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2.12

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2.13

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 + 0)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2.14

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Развернем $(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Изменим порядок множителей в членах $- 2 x \cdot 2$ и $2 (2 x)$ .

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Добавим $- 2 \cdot 2 x$ и $2 \cdot 2 x$ .

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 0 + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2.3

Добавим $x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x)$ и $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.3.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.3.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.3.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.3.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.3.6

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.3.7

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.4

Вычтем $4 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - 2 x - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.5.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - 2 x + 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.6

Развернем $(- x^{2} - 2 x + 2) (2 x - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.7.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.7.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.7.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.7.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.7.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.7.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.7.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.7.8

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.7.9

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.7.10

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 4 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.8

Вычтем $4 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.9

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 + 0 - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2.2

Добавим $- 2 x^{2} + 4$ и $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x + 0}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2.4

Добавим $- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x$ и $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (- x) + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.3.2

Вынесем множитель $4 x$ из $8 x$ .

$\frac{4 x (- x) + 4 x (2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.3.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- x) + 4 x (2)$ .

$\frac{4 x (- x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{4 x (- (x) + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.5

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{4 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{4 x (- (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.7

Перепишем $- (x - 2)$ в виде $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{4 x (- 1 (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$