Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{e^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{e^{x}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $\frac{1}{e^{x}}$ в виде ${(e^{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(e^{x})}^{- 1}]$

Этап 3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x \cdot - 1}]$

Этап 3.1.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 1 \cdot x}]$

Этап 3.1.2.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{- x} \cdot - 1$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- 1 \cdot e^{- x}$

Этап 3.3.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- e^{- x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - e^{- x}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - e^{- x}$