Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{\sqrt{3 - 2 x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 - 2 x}$ в виде ${(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 4.1.2

Перемножим экспоненты в ${({(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 4.1.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - 2 x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 4.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [{(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ и $g (x) = 3 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 - 2 x$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Этап 4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Этап 4.7.2

Объединим ${(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Этап 4.7.3

Перенесем ${(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Этап 4.8

По правилу суммы производная $3 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 4.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 4.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 4.11

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.12.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.12.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.12.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Этап 4.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Умножим $\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.14.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$