Математический анализ Примеры

$y = {(x - \ln (x))}^{7}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x - \ln (x))}^{7})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = x - \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - \ln (x)$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 3.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 - \frac{1}{x})$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} \cdot 1 + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$

Этап 3.4.2

Умножим $7$ на $1$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$

Этап 3.4.3

Умножим $7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} - 7 {(x - \ln (x))}^{6} \frac{1}{x}$

Этап 3.4.3.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $- 7$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + \frac{- 7}{x} {(x - \ln (x))}^{6}$

Этап 3.4.3.3

Объединим $\frac{- 7}{x}$ и ${(x - \ln (x))}^{6}$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + \frac{- 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Этап 3.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} - \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Этап 3.4.5

Чтобы записать $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} x}{x} - \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Этап 3.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} x - 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Этап 3.4.7

Вынесем множитель $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ из $7 {(x - \ln (x))}^{6} x - 7 {(x - \ln (x))}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Вынесем множитель $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ из $7 {(x - \ln (x))}^{6} x$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) - 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Этап 3.4.7.2

Вынесем множитель $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ из $- 7 {(x - \ln (x))}^{6}$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- 1)}{x}$

Этап 3.4.7.3

Вынесем множитель $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ из $7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- 1)$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$