Математический анализ Примеры

$\ln (x) y + 5 x = 30$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\ln (x) y + 5 x) = \frac{d}{d x} (30)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\ln (x) y + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = y$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\ln (x) y' + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) y' + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.2.4

Объединим $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5$

Этап 3

Поскольку $30$ является константой относительно $x$ , производная $30$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5$ .

$y' \ln (x) + \frac{y}{x} + 5 = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $\frac{y}{x}$ из обеих частей уравнения.

$y' \ln (x) + 5 = - \frac{y}{x}$

Этап 5.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$ на $\ln (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$ на $\ln (x)$ .

$\frac{y' \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $\ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = - \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Этап 5.3.3.1.2

Умножим $\frac{1}{\ln (x)}$ на $\frac{y}{x}$ .

$y' = - \frac{y}{\ln (x) x} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Этап 5.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{\ln (x) x} - \frac{5}{\ln (x)}$

Этап 5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{y}{\ln (x) x} - \frac{5}{\ln (x)}$ .

$y' = - \frac{y}{x \ln (x)} - \frac{5}{\ln (x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x \ln (x)} - \frac{5}{\ln (x)}$