Математический анализ Примеры

$\ln (x) + \ln (y) = 3 x - 3 y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\ln (x) + \ln (y)) = \frac{d}{d x} (3 x - 3 y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\ln (x) + \ln (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Этап 2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} y'$

Этап 2.3.3

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y'$ .

$\frac{1}{x} + \frac{y'}{y}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x - 3 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 y$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 - 3 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 - 3 y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} = 3 - 3 y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $3 y'$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 3 y' = 3$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, y, 1, 1$

Этап 5.2.2

Since $x, y, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, y^{1}$ .

Этап 5.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.2.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 5.2.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 5.2.7

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 5.2.8

НОК $x^{1}, y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x y$

Этап 5.3

Каждый член в $\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 3 y' = 3$ умножим на $x y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 3 y' = 3$ на $x y$ .

$\frac{1}{x} (x y) + \frac{y'}{y} (x y) + 3 y' (x y) = 3 (x y)$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) + \frac{y'}{y} (x y) + 3 y' (x y) = 3 (x y)$

Этап 5.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} (x y) + \frac{y'}{y} (x y) + 3 y' (x y) = 3 (x y)$

Этап 5.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y + \frac{y'}{y} (x y) + 3 y' (x y) = 3 (x y)$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y + \frac{y'}{y} (y x) + 3 y' (x y) = 3 (x y)$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y + \frac{y'}{y} (y x) + 3 y' (x y) = 3 (x y)$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y + y' x + 3 y' (x y) = 3 (x y)$

$y + y' x + 3 y' x y = 3 (x y)$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Избавимся от скобок.

$y + y' x + 3 y' x y = 3 x y$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y' x + 3 y' x y = 3 x y - y$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x + 3 y' x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x$ .

$y' x \cdot 1 + 3 y' x y = 3 x y - y$

Этап 5.4.2.2

Вынесем множитель $y' x$ из $3 y' x y$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (3 y) = 3 x y - y$

Этап 5.4.2.3

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x \cdot 1 + y' x (3 y)$ .

$y' x (1 + 3 y) = 3 x y - y$

Этап 5.4.3

Разделим каждый член $y' x (1 + 3 y) = 3 x y - y$ на $x (1 + 3 y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Разделим каждый член $y' x (1 + 3 y) = 3 x y - y$ на $x (1 + 3 y)$ .

$\frac{y' x (1 + 3 y)}{x (1 + 3 y)} = \frac{3 x y}{x (1 + 3 y)} + \frac{- y}{x (1 + 3 y)}$

Этап 5.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' x (1 + 3 y)}{x (1 + 3 y)} = \frac{3 x y}{x (1 + 3 y)} + \frac{- y}{x (1 + 3 y)}$

Этап 5.4.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (1 + 3 y)}{1 + 3 y} = \frac{3 x y}{x (1 + 3 y)} + \frac{- y}{x (1 + 3 y)}$

Этап 5.4.3.2.2

Сократим общий множитель $1 + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 + 3 y)}{1 + 3 y} = \frac{3 x y}{x (1 + 3 y)} + \frac{- y}{x (1 + 3 y)}$

Этап 5.4.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3 x y}{x (1 + 3 y)} + \frac{- y}{x (1 + 3 y)}$

Этап 5.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 x y}{x (1 + 3 y)} + \frac{- y}{x (1 + 3 y)}$

Этап 5.4.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{3 y}{1 + 3 y} + \frac{- y}{x (1 + 3 y)}$

Этап 5.4.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{3 y}{1 + 3 y} - \frac{y}{x (1 + 3 y)}$

Этап 5.4.3.3.2

Чтобы записать $\frac{3 y}{1 + 3 y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{3 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (1 + 3 y)}$

Этап 5.4.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + 3 y) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.3.1

Умножим $\frac{3 y}{1 + 3 y}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{3 y x}{(1 + 3 y) x} - \frac{y}{x (1 + 3 y)}$

Этап 5.4.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(1 + 3 y) x$ .

$y' = \frac{3 y x}{x (1 + 3 y)} - \frac{y}{x (1 + 3 y)}$

Этап 5.4.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{3 y x - y}{x (1 + 3 y)}$

Этап 5.4.3.3.5

Вынесем множитель $y$ из $3 y x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y x$ .

$y' = \frac{y (3 x) - y}{x (1 + 3 y)}$

Этап 5.4.3.3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y' = \frac{y (3 x) + y \cdot - 1}{x (1 + 3 y)}$

Этап 5.4.3.3.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y (3 x) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (3 x - 1)}{x (1 + 3 y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 x - 1)}{x (1 + 3 y)}$