Математический анализ Примеры

$\ln (x y) = e^{2 x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2.2

Объединим $\frac{x}{x y}$ и $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2.4

Объединим $\frac{1}{x y}$ и $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Этап 2.6.2.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Этап 2.6.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Этап 3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Этап 3.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 2 e^{2 x}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $\frac{1}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y'}{y} = 2 e^{2 x} - \frac{1}{x}$

Этап 5.2

Умножим обе части на $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} y = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $(2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = 2 e^{2 x} y - \frac{1}{x} y$

Этап 5.3.2.1.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$y' = 2 e^{2 x} y - \frac{y}{x}$

Этап 5.3.2.1.3

Изменим порядок множителей в $2 e^{2 x} y - \frac{y}{x}$ .

$y' = 2 y e^{2 x} - \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{2 x} - \frac{y}{x}$