Математический анализ Примеры

$\ln (x y) = x + y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2.2

Объединим $\frac{x}{x y}$ и $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Этап 2.6.2.4

Объединим $\frac{1}{x y}$ и $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Этап 2.6.2.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Этап 2.6.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 + y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 1 + y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' = 1$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, x, 1, 1$

Этап 5.2.2

Since $y, x, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Этап 5.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.2.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 5.2.6

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 5.2.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 5.2.8

НОК $y^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y x$

Этап 5.3

Каждый член в $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' = 1$ умножим на $y x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' = 1$ на $y x$ .

$\frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) - y' (y x) = 1 (y x)$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$\frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{1}{x} (y x) - y' (y x) = 1 (y x)$

Этап 5.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) - y' (y x) = 1 (y x)$

Этап 5.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y' x + \frac{1}{x} (y x) - y' (y x) = 1 (y x)$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $y x$ .

$y' x + \frac{1}{x} (x y) - y' (y x) = 1 (y x)$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' x + \frac{1}{x} (x y) - y' (y x) = 1 (y x)$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' x + y - y' (y x) = 1 (y x)$

$y' x + y - y' y x = 1 (y x)$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $y x$ на $1$ .

$y' x + y - y' y x = y x$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y' x - y' y x = y x - y$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x - y' y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x$ .

$y' x \cdot 1 - y' y x = y x - y$

Этап 5.4.2.2

Вынесем множитель $y' x$ из $- y' y x$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y) = y x - y$

Этап 5.4.2.3

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y)$ .

$y' x (1 - 1 y) = y x - y$

Этап 5.4.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$y' x (1 - y) = y x - y$

Этап 5.4.4

Разделим каждый член $y' x (1 - y) = y x - y$ на $x (1 - y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Разделим каждый член $y' x (1 - y) = y x - y$ на $x (1 - y)$ .

$\frac{y' x (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Этап 5.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' x (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Этап 5.4.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (1 - y)}{1 - y} = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Этап 5.4.4.2.2

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - y)}{1 - y} = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Этап 5.4.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Этап 5.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Этап 5.4.4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{1 - y} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Этап 5.4.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y}{1 - y} - \frac{y}{x (1 - y)}$

Этап 5.4.4.3.2

Чтобы записать $\frac{y}{1 - y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (1 - y)}$

Этап 5.4.4.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - y) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.3.1

Умножим $\frac{y}{1 - y}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y x}{(1 - y) x} - \frac{y}{x (1 - y)}$

Этап 5.4.4.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(1 - y) x$ .

$y' = \frac{y x}{x (1 - y)} - \frac{y}{x (1 - y)}$

Этап 5.4.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y x - y}{x (1 - y)}$

Этап 5.4.4.3.5

Вынесем множитель $y$ из $y x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y' = \frac{y (x) - y}{x (1 - y)}$

Этап 5.4.4.3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y' = \frac{y (x) + y \cdot - 1}{x (1 - y)}$

Этап 5.4.4.3.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (x - 1)}{x (1 - y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 1)}{x (1 - y)}$